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# 计量经济学II
# (Econometrics II)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2022-09-25

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---
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# 模块1：计量经济学基础

.larger[

Chapter 01. 经典模型

Chapter 02. 矩阵分析

.red[[Chapter 03. 放宽假设](#chapter03)]

Chapter 04. 扩展方法

]

---
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# 第03章 放宽假设

[3.1 多重共线性(Multi-collinearity)问题](#multi)

[3.2 异方差(hetro-scadasticity)问题](#hetero)

[.red[3.3 自相关问题(auto-correlation)]](#auto)

[3.4 内生自变量(endogeneity-variable)问题](#endogeneity)

---
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---
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# 3.3 自相关（Auto-correlation）问题

[3.3.1 序列自相关性的定义和来源](#definition-auto)

[3.3.2 序列自相关性的影响和后果](#effect-auto)

[3.3.3 序列自相关性问题的诊断](#diagnose-auto)

[3.3.4 序列自相关性问题的矫正](#adjust-auto)

---
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# 3.3.1 序列自相关性的定义和来源

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@ 
<a href="#chapter-navi">模块01 计量经济学基础 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#chapter03">第03章 放宽假设 |</a>
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<a href="#auto"> 3.3 自相关（Auto-correlation）问题 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#definition-auto"> 3.3.1 序列自相关性的定义和来源 </a> </span></div>

---

## 自相关的概念与内涵

**滞后变量**（lag variable）：对某个时间序列变量进行**滞后变换**后得到的新变量。

例如对时间序列变量
`$Z_{2,t} \quad (t \in 1,2,\cdots, T)$`进行滞后变换可以得到多个**滞后变量**：
`$Z_{2,t-1};Z_{2,t-2};\cdots;Z_{2,t-p};\cdots ; Z_{2,t-(T-1)}$`。

---

## 自相关的概念与内涵

**时间序列数据**的两种相关关系：

- **序列相关**（serial correlation）：两个不同时间序列变量之间（或/及它们的滞后变量之间）
的（线性）相关关系。

`$$\begin{align}
& cor(Z_{2,t},Z_{3,t})\\
& cor(Z_{2,t},Z_{3,t-1}); \quad \cdots; \quad cor(Z_{2,t},Z_{3,t-p}). \quad p \in 1,2,\cdots, T-1 \\
& cor(Z_{2,t-1},Z_{3,t}); \quad \cdots; \quad cor(Z_{2,t-p},Z_{3,t}). \quad p \in 1,2,\cdots, T-1
\end{align}$$`

- **自相关**（autocorrelation）：某个时间序列变量与其自身滞后变量的（线性）相关关系。

`$$\begin{align}
& cor(Z_{2,t},Z_{2,t-1}); \quad cor(Z_{2,t},Z_{2,t-2}); \quad \cdots; \quad cor(Z_{2,t},Z_{2,t-p}). \quad p \in 1,2,\cdots, T-1 
\end{align}$$`

---

## 自相关的概念与内涵

k变量总体回归模型(PRM)

`$$\begin {align} 
Y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{2t}+\beta_{3} X_{3t}+ \cdots +\beta_{k} X_{kt}+u_{t} 
\end {align}$$`

**经典线性回归模型假定**（CLRM）在随机干扰项
`$u_i$`之间不存在**自相关**，也即：

`$$\begin{align}
E(u_tu_{t-p}) &=0;\quad p \in 1,2,\cdots, T-1
\end{align}$$`

如果随机干扰项
`$u_i$`出现自相关时，则意味着**违背**了CLRM假设（其他假设仍旧成立）：

`$$\begin{align}
E(u_tu_{t-p}) & \neq 0;\quad p \in 1,2,\cdots, T-1
\end{align}$$`

---

## 自相关的概念与内涵（模拟演示）

随机干扰项
`$u_t$`的几种自相关模式和非自相关模式可以表示为：

---

## 产生自相关的原因1

**产生自相关的原因1**：**时间惯性**的普遍存在。大多数经济时间序列变量都有**时间惯性**。

- GNP、价格指数、生产、就业和失业等时间序列变量都呈现出商业循环。

---

## 产生自相关的原因2

**产生自相关的原因2-1**：**模型设定偏误**——应含而未含某些重要变量（excluded variables）
。

- 以牛肉需求模型为例。其中：
`$Y_t$`表示牛肉需求量；
`$X_{2t}$`表示牛肉价格；
`$X_{3t}$`表示消费者收入；
`$X_{4t}$`表示猪肉价格。

`$$\begin {align} 
Y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{2t}+\beta_{3} X_{3t}+ \beta_{4} X_{4t}+u_{t} 
\end {align}$$`

- 如果我们把上述模型做成如下情形，在**猪肉价格**影响**牛肉消费**的情形下，新模型的残差
`$v_t$`将表现出某种系统的模式。也即模型出现了错误设定，导致随机干扰项不满足CLRM假设。

`$$\begin {align} 
Y_{t}=\alpha_{1}+\alpha_{2} X_{2t}+\alpha_{3} X_{3t}+v_{t} 
\end {align}$$`

---

## 产生自相关的原因2

**产生自相关的原因2-2**：**模型设定偏误**——不正确的函数形式。

.pull-left[
- 以企业边际成本-产出模型为例。如果“真实”的边际成本决定模型为：

`$$\begin {align} 
Cost_{t}=\beta_{1}+\beta_{2} Output_t+\beta_{3} Output_t^2+u_{t} 
\end {align}$$`

]

.pull-right[

- 如果我们把上述模型做成如下情形（模型错误设定），由于模型函数形式的错误使用，残差
`$v_t$`将反映出自相关性质（因为
`$v_t = \beta_3Output_t^2 +u_t$`）。

`$$\begin {align} 
Cost_{t} & =\alpha_{1}+\alpha_{2} Output_t+v_{t} 
\end {align}$$`

]

---

## 产生自相关的原因3

**产生自相关的原因3**：蛛网现象（Cobweb phenomenon）的存在。

- 以农产品供给模型为例。如果在
当期（t期）价格
`$P_t$`的低于前一期（t-1期）价格
`$P_{t-1}$`，那么在**未来1期**（t+1期），农户将会决定生产更少的农产品。如此往复决策，将会使得形成蛛网生产和价格模式。

`$$\begin {align} 
Supply_{t} & =\beta_{1}+\beta_{2} P_{t-1}+u_{t} 
\end {align}$$`

---

## 产生自相关的原因4

**产生自相关的原因4**：**滞后效应**的普遍存在。

- 以消费支出模型为例。当期消费（t期）还会受到前期（t-1期）消费水平的影响。这种带有因变量的滞后变量
`$Consumption_{t-1}$`的回归也叫**自回归**（auto-regression）。

`$$\begin {align} 
Consumption_{t}=\beta_{1}+\beta_{2} Income_t+\beta_3 Consumption_{t-1}+u_{t}
\end {align}$$`

---

## 产生自相关的原因5

**产生自相关的原因5**：数据的**“编造”**。

-从月度数据计算得出季度数据，会减小波动，引进匀滑作用，使扰动项出现系统性模式

- 数据的内插（interpolation）：人口普查10年一次

- 数据的外推（extrapolation）

---

## 产生自相关的原因6

**产生自相关的原因6**：数据的**“变换”**。

- 例如，有时候我们可以构造如下的**一阶差分模型**，这类模型也被称为**动态回归模型**（Dynamic regression）。

`$$\begin {align} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t}\\
Y_{t-1} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t-1}+u_{t-1}\\
\Delta Y_{t} &=\beta_{2} \Delta X_{t}+\Delta u_{t} \\
\Delta Y_{t} &=\beta_{2} \Delta X_{t}+v_{t}
\end {align}$$`

- 如果
`$Y_t$`和
`$X_t$`都是已经经过了对数化处理，则一阶差分变换后的模型中随机干扰项
`$v_t$`将会出现自相关模式。

---

## 产生自相关的原因7

**产生自相关的原因7**：时间序列**非平稳性**的广泛存在。

`$$\begin {align} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t}
\end {align}$$`

- 因变量
`$Y_t$`和自变量
`$X_t$`很可能都是非平稳的。因此随机干扰项
`$u_t$`也是非平稳的。此时，随机干扰项将表现出自相关。

---

## 自相关的几种模式：视角1

**直接观察视角**：我们可以从随机干扰项
`$u_t$`与其滞后变量
`$u_{t-1},u_{t-2},\cdots, u_{t-p},\cdots, u_{t-(T-1)}$`的散点图来观察自相关模式（比较容易理解）。

???

“幸福的家庭大抵类似，不幸的家庭各不相同!”——列夫托尔斯泰

“随机干扰项不相关只有一种情形（理想状态），而自相关则可以有各种千奇百怪的情形（普遍现实）”。

---

## 自相关的几种模式：视角2

**间接观察视角**：我们可以从随机干扰项
`$u_t$`随时间t的散点图变化来观察自相关模式（不太好理解）。

???

“幸福的家庭大抵类似，不幸的家庭各不相同!”——列夫托尔斯泰

“随机干扰项不相关只有一种情形（理想状态），而自相关则可以有各种千奇百怪的情形（普遍现实）”。

---
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# 3.3.2 序列自相关性的影响和后果

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@ 
<a href="#chapter-navi">模块01 计量经济学基础 |</a>
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<a href="#chapter03">第03章 放宽假设 |</a>
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<a href="#auto"> 3.3 自相关（Auto-correlation）问题 |</a>
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<a href="#effect-auto"> 3.3.2 序列自相关性的影响和后果 </a> </span></div>

---

## 马尔可夫1阶自回归

下面给出自相关情形为**马尔可夫1阶自回归模式**：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

- 
`$\rho$`被称为自协方差系数(coefficient of autocovariance)

`$$\begin{aligned} 
\rho &=\frac{E\left[\left(u_{t}-E\left(u_{t}\right)\right)\left(u_{t-1}-E\left(u_{t-1}\right)\right)\right]} {\sqrt{\operatorname{var}\left(u_{t}\right)} \sqrt{\operatorname{var}\left(u_{t-1}\right)}}  =\frac{E\left(u_{t} u_{t-1}\right)}{\operatorname{var}\left(u_{t-1}\right)} \end{aligned}$$`

- 
`$\varepsilon_t$`是满足以下标准CLRM假定的随机干扰项。此时
`$\varepsilon_t$`也被成为**白噪声**误差项(white noise error Term)。

`$$\begin {align} 
E\left(\varepsilon_{t}\right) &=0 \\ var\left(\varepsilon_{t}\right) &=\sigma^{2} \\ 
cov\left(\varepsilon_{t}, \varepsilon_{t+s}\right) &=0； \quad s \neq 0
\end {align}$$`

---

## 出现自相关性时的态度1

**态度1**：忽视自相关性，坚持错误地使用CLRM假设下OLS方法的各种公式。

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

在**自相关性**存在的情形下（马尔科夫1阶自相关），却坚持使用OLS方法下的方差公式：

`$$\begin {align} 
\hat{\beta}_{2} \parallel_{OLS}^{CLRM} 
=\frac{\sum x_{t} y_{t}}{\sum x_{t}^{2}}
=\frac{n \sum X_{t} Y_{t}-\sum X_{t} \sum Y_{t}}{n \sum X_{t}^{2}-\left(\sum X_{t}\right)^{2}}
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} 
=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}}
\end {align}$$`

- 坚持使用的方差公式
`$\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM}$`是有偏的，可能高估或低估其真实方差
`$\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right)$`。
- 坚持使用回归误差方差公式
`$\hat{\sigma}^{2} \parallel_{OLS}^{CLRM}=\frac{\sum \mathrm{e}_{i}^{2}}{n-2}$`，并不是真值
`$\sigma^2$`的**无偏估计量**。
- 进一步地，置信区间、t检验和F检验也将不准确。

---

## 出现自相关性时的态度2

**态度2**：承认“**自相关性**”这一事实，但仍旧使用OLS方法。

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

在**自相关性**存在的情形下（马尔科夫1阶自相关），仍旧使用OLS方法，得到估计量及其方差的**“新公式”**（细节见下一页slide）：

`$$\begin {align} 
\hat{\beta}_{2} \parallel_{OLS}^{AR1} 
=\frac{\sum x_{t} y_{t}}{\sum x_{t}^{2}}
=\frac{n \sum X_{t} Y_{t}-\sum X_{t} \sum Y_{t}}{n \sum X_{t}^{2}-\left(\sum X_{t}\right)^{2}}
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{AR1} =\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}} \frac{1+r \rho}{1-r \rho }= {var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} \cdot \frac{1+r \rho}{1-r \rho }
\end {align}$$`

- 系数估计量仍是**一致的**；方差公式是**有偏的**，可能高估或低估其真实方差
`$\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right)$`。

- 请验证
`$r=0.6,\rho=0.8$`时，二者的大小关系？

---

### 附录：方差计算细节

给定马尔科夫1阶自相关情形（AR(1)）：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

`$$\begin{aligned} 
\operatorname{var}\left(u_{t}\right) &=E\left(u_{t}^{2}\right)=\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1-\rho^{2}} \\ 
\operatorname{cov}\left(u_{t}, u_{t-s}\right) &=\operatorname{cov}\left(u_{t}, u_{t+s}\right)=E\left(u_{t} u_{t-s}\right)=\rho^{s} \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1-\rho^{2}} \\
\operatorname{cor}\left(u_{t}, u_{t-s}\right) &=\operatorname{cor}\left(u_{t}, u_{t+s}\right)=\rho^{s}
\end{aligned}$$`

---

### 附录：方差计算细节

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right)^{AR1}_{OLS}
&=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}}\left[1+2 \rho \frac{\sum x_{t} x_{t-1}}{\sum x_{t}^{2}}+2 \rho^{2} \frac{\sum x_{t} x_{t-2}}{\sum x_{t}^{2}}+\cdots+2 \rho^{n-1} \frac{x_{1} x_{n}}{\sum x_{t}^{2}}\right] \\
&=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}} \frac{1+r \rho}{1-r \rho } \quad \quad \leftarrow \left[ if \quad X_t=rX_{t-1}+v_t \right]
\end {align}$$`

- 若
`$\rho=1$`，上述方差和协方差将不能定义；若
`$|\rho|< 1$`，
`$u_t$`的均值、方差和协方差都不随时间而变化。AR(1)过程被称为是**平稳的**。此时，协方差的值将随着两个误差的时间间隔越远而越小。

---

## 出现自相关性时的态度3

**态度3**：在**自相关性**存在情形下，首先想办法消除自相关性，再使用OLS方法。**广义最小二乘法**（GLS）下（如**广义差分方程法**），估计量及其方差公式可写成：

`$$\begin {align} 
\hat{\beta}_{2} \parallel_{\mathrm{GLS}}^{AR1} 
& =\frac{\sum_{t=2}^{n}\left(x_{t}-\rho x_{t-1}\right)\left(y_{t}-\rho y_{t-1}\right)}{\sum_{t=2}^{n}\left(x_{t}-\rho x_{t-1}\right)^{2}}+C 
&& \leftarrow \left[ \text{C is a correction factor} \right]
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\operatorname{var} (\hat{\beta}_{2})_{\mathrm{GLS}}^{AR1}
& =\frac{\sigma^{2}}{\sum_{t=2}^{n}\left(x_{t}-\rho x_{t-1}\right)^{2}}+D 
&& \leftarrow \left[ \text{D is a correction factor} \right]
\end {align}$$`

- 系数估计量是一致的

- 方差公式是无偏的，其期望将等于真实方差
`$\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right)$`。

- 此时，GLS得到的才是**BLUE**！（证明过程略）

.footnotesize[
> 提示：GLS中我们通过变量变换把额外的信息（异方差性或**自相关性**）包括到估计程序中去，而在OLS 中我们并不直接考虑这种附加信息。

]

---

## 出现自相关性时的态度：总结

- **态度1**：“把头埋进沙堆的鸵鸟”

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} 
=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}}
\end {align}$$`

- **态度2**：“将错就错地走下去”

- **态度3**：“直面困难找出路”

---

## 出现自相关时使用OLS 的后果

在自相关出现时，OLS 估计量仍是线性的、无偏的和一致性的，但不再是有效的（亦即最小方差）。那么，如果我们继续使用OLS估计量，我们平常的假设检验程序会遇到什么问题呢?主要有：

- 参数估计不再是有效估计量(亦即不再是方差最小)

- 参数的显著性检验失去意义

- 模型的预测失效

下面分两种情形来讨论其后果：

- **态度1**：忽视自相关，采用OLS估计

- **态度2**：考虑自相关，采用OLS估计

---

## 出现自相关时使用OLS 的后果（态度1和态度2）

对于**态度1**和**态度2**，执意采用OLS估计，将会：残差方差可能低估真实方差；高估可绝系数；或低估考虑一阶自回归的方差；检验无效，得出错误的结论。

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

.pull-left[
CLRM条件下采用OLS估计：

`$$\begin {align} 
\hat{\beta}_{2} \parallel_{OLS}^{CLRM} 
& = \frac{\sum x_{t} y_{t}}{\sum x_{t}^{2}}\\
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} 
& = \frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}}\\
\hat{\sigma}^{2} \parallel_{OLS}^{CLRM}
& = \frac{\sum \mathrm{e}_{i}^{2}}{n-2} \\
\quad E \left( \hat{\sigma}^2\parallel_{OLS}^{CLRM} \right) &=\sigma^2
\end {align}$$`

]

.pull-right[
AR(1)情形下使用OLS估计：

`$$\begin {align} 
\hat{\beta}_{2} \parallel_{OLS}^{AR1} 
& = \frac{\sum x_{t} y_{t}}{\sum x_{t}^{2}} \\
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{AR1}  &=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}} \frac{1+r \rho}{1-r \rho } \\
\hat{\sigma}^{2} \parallel_{OLS}^{AR1} 
& =\frac{\sigma^{2}\left\{n-\left[\frac{2}{(1-\rho)}-2 \rho r\right]\right\}}{n-2} \\
\quad E\left( \hat{\sigma}^{2} \parallel_{OLS}^{AR1}  \right) &< \sigma^{2}
\end {align}$$`

]

---

## 出现自相关时使用OLS 的后果

实际经济分析中，**正自相关性**一般更为普遍，也即
`$(0 < \rho < 1; 0< r <1)$`。此时：

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{AR1} &=\frac{\sigma^{2}}{\sum x_{t}^{2}} \frac{1+r \rho}{1-r \rho }= {var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} \cdot \frac{1+r \rho}{1-r \rho } \\
\operatorname{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{AR1}
& > {var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM}
\quad  \quad  \leftarrow \left[ \text{if} \quad 0 < \rho < 1; 0< r <1 \right]
\end {align}$$`

---

## 出现自相关时使用OLS 的后果

事实上，在AR(1)情形下采用广义最小二乘法（GLS）才能得到**BLUE**，意味着：

`$$\begin {align} 
{var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{AR1} > {var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{OLS}^{CLRM} > {var}\left(\hat{\beta}_{2}\right) \parallel_{GLS}^{AR1}
\end {align}$$`

同时，也将意味着GLS方法下**斜率系数**的置信区间也将**更窄**：

.pull-left[

]

.pull-right[

- 如果一个对斜率参数
`$\beta_2$`的点估计值为
`$b_2$`，并给定显著性水平为
`$\alpha=0.05$`

- 那么则有可能出现如下结果：在OLS方法下，95%置信区间检验**不显著**（接受原假设
`$H_0$`）；但是在GLS方法下，95%置信区间检验却可以是**显著**的（拒绝原假设
`$H_0$`，接受备择假设
`$H_1$`）

]

**启示**：尽管OLS 估计量是无偏的和一致性的，但为了构造置信区间并检验假设，要用GLS而不用OLS！

---

### 蒙特卡洛模拟（数据生成1）

给定如下**存在自相关情形**AR(1)的模拟数据表（观测数
`$T=$` 9）：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=1 +0.8 X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=0.7 u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[ u_0=5 \right]\\
\varepsilon_t & \sim N(0,1) && \leftarrow \left[ \varepsilon_0=0 \right]
\end{aligned}$$`

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---

### 蒙特卡洛模拟（随机干扰项模式1）

**存在自相关情形**AR(1)的模拟数据，随机干扰项
`$u_t$`的分布模式如下：

---

### 蒙特卡洛模拟（回归分析1）

对以上存在AR(1)的**模拟数据**，我们构建如下的回归模型，并坚持采用OLS方法得到估计结果：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &Y_t=&& + \beta_{1} && + \beta_{2} X_{t}&&+u_t\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y_t}=&&+4.30&&+0.51X_{t}\\ &\text{(t)}&&(6.7249)&&(4.4750)\\&\text{(se)}&&(0.6389)&&(0.1135)\\&\text{(fitness)}&& R^2=0.7410;&& \bar{R^2}=0.7040\\& && F^{\ast}=20.03;&& p=0.0029 \end{alignedat} \end{equation}$$`

---

### 蒙特卡洛模拟（回归线1）

对OLS方法下的**样本回归线（SRL1）**绘图，并与**真实的**总体回归线（PRL）进行对比：

`$$\begin{aligned} 
E(Y|X_{t}) &=1 +0.8 X_{t} && (PRL/PRF) 
\end{aligned}$$`

---

### 蒙特卡洛模拟（数据生成2）

如果我们使用**符合CLRM假设**的模拟数据
`$(Y_t^*, X_t)$`，其中：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t}^* &=1 +0.8 X_{t}+\varepsilon_{t} \\
\varepsilon_t & \sim N(0,1) && \leftarrow \left[ \varepsilon_0=0 \right]
\end{aligned}$$`

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---

### 蒙特卡洛模拟（随机干扰项模式2）

**符合CLRM假设**的模拟数据，随机干扰项
`$\varepsilon_t$`的分布模式如下：

---

### 蒙特卡洛模拟（回归分析2）

对以上**符合CLRM假设**模拟数据，我们构建如下的回归模型，并采用OLS方法得到估计结果：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{NewY_t}=&&+0.48&&+0.73X_{t}\\ &\text{(t)}&&(0.6331)&&(5.4323)\\&\text{(se)}&&(0.7569)&&(0.1345)\\&\text{(fitness)}&& R^2=0.8083;&& \bar{R^2}=0.7809\\& && F^{\ast}=29.51;&& p=0.0010 \end{alignedat} \end{equation}$$`

.footnote[ 注意：此处的
`$\widehat{NewY_t}$`表示
`$\hat{Y}_t^*$`]

---

### 蒙特卡洛模拟（回归线2）

对OLS方法下的**样本回归线（SRL2）**绘图，并与**真实的**总体回归线（PRL）进行对比：

`$$\begin{aligned} 
E(Y|X_{t}) &=1 +0.8 X_{t} && (PRL/PRF) 
\end{aligned}$$`

---

## 工资与生产率案例

<div class="figure" style="text-align: center">
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<p class="caption">1960-2005年间美国商业部门工资与生产率数据(T= 46 )</p>
</div>

- 
`$Y_t$`表示时均真实工资指数；

- 
`$X_t$`表示生产效率指数

---

### 散点图

---

### 回归分析

对以上数据，我们可以分别构建如下的**经典线性回归模型**和**双对数模型**，并坚持采用OLS方法得到估计结果：

.pull-left[

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &Y_t=&& + \beta_{1} && + \beta_{2} X_{t}&&+u_t\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

]

.pull-right[

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &log(Y_t)=&& + \beta_{1} && + \beta_{2} log(X_{t)}&&+u_t\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y_t)}=&&+1.45&&+0.31log(X_{t)}\\ &\text{(t)}&&(15.6171)&&(5.2716)\\&\text{(se)}&&(0.0930)&&(0.0590)\\&\text{(fitness)}&& R^2=0.7988;&& \bar{R^2}=0.7700\\& && F^{\ast}=27.79;&& p=0.0012 \end{alignedat} \end{equation}$$`

]

思考：

- 我们的数据是否受到自相关问题的困扰？

- 我们如何发现自相关问题并加以纠正?

---

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# 3.3.3 序列自相关性问题的诊断

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@ 
<a href="#chapter-navi">模块01 计量经济学基础 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#chapter03">第03章 放宽假设 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#auto"> 3.3 自相关（Auto-correlation）问题 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#diagnose-auto"> 3.3.3 序列自相关性问题的诊断 </a> </span></div>

---

## 图示法

**图示法**重点关注模型**残差**序列（
`$e_t$`）是否存在某种系统化模式。总体回归模型PRM中随机干扰项
`$u_t$`是不能直接观测到，所以可通过观察样本回归模型SRM中残差的行为模式，间接诊断随机干扰项是否存在自相关性问题。

- 图形1：残差序列
`$e_t$`**时序图**（serial plot，也即残差
`$e_t$`随时期
`$t$`的变化图）。

- 图形2：残差序列
`$e_t$`与残差1阶滞后序列
`$e_{t-1}$`的**散点图**（scatter plot）。

- 图形3：残差序列
`$e_t$`与残差p阶滞后序列
`$e_{t-p},\quad p \in (2,3,\cdots,T-1)$`的**散点图**（scatter plot）。

---

### 图示法：案例演示（主回归）

首先构建如下双对数**主回归模型**：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &log(Y_t)=&& + \hat{\beta}_{1} && + \hat{\beta}_{2} log(X_{t)}&&+e_i\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

双对数主回归模型回归结果为：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y_t)}=&&+1.61&&+0.65log(X_{t)}\\ &\text{(t)}&&(29.3680)&&(52.7996)\\&\text{(se)}&&(0.0547)&&(0.0124)\\&\text{(fitness)}&& R^2=0.9845;&& \bar{R^2}=0.9841\\& && F^{\ast}=2787.80;&& p=0.0000 \end{alignedat} \end{equation}$$`

---

### 图示法：案例演示（主回归EViews报告）

作为对照，下面给出的是主模型的EViews报告：

---

### 图示法：案例演示（残差数据）

得到主回归模型的残差序列
`$e_t$`、残差1阶滞后序列
`$e_{t-1}$`，以及标准化变换的残差序列
`$e_t^*=\frac{e_t}{S_{e_t}}$`：

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> **提示**：
`$Y_t$`表示时均真实工资指数；
`$X_t$`表示生产效率指数；
`$e_t^*=\frac{e_t}{S_{e_t}}=\frac{e_t}{\sum{e_t^2}/(T-1)}$`

---

### 图示法：案例演示（残差模式1）

残差序列（
`$e_t$`）和1/100标准化残差（
`$0.01e_t^*$`）**时序图**（serial plot）如下：

.footnote[
**提示**：`et`表示残差序列（
`$e_t$`）；`et.std/100`表示1/100标准化残差序列（
`$e_t^{\ast}/100$`）。]

---

### 图示法：案例演示（残差模式2）

残差序列
`$e_t$`与残差1阶滞后序列
`$e_{t-1}$`的**散点图**（scatter plot）为：

.footnote[**提示**：因为残差滞后1期序列
`$e_{t-1}$`的观测数只有45，所以此处只显示45个观测点。]

---

## 辅助回归法

**思路**：利用样本数据，构建并分析残差
`$e_t$`序列对
`$e_{t-1},e_{t-2},\cdots$`序列的**辅助回归方程**，从而间接判断随机干扰项
`$u_t$`的自相关性模式。

考虑如下的对应关系：

`$$\begin {align} 
u_t & = \rho_1 u_{t-1} + \rho_2 u_{t-2} + \cdots + \rho_p u_{t-p} 
&& \quad p \in (1, 2, \cdots, T-1) \\
e_t & = \hat{\rho}_1 e_{t-1} + \hat{\rho}_2 e_{t-2} + \cdots + \hat{\rho}_p e_{t-p} + v_i 
&& \quad p \in (1, 2, \cdots, T-1) 
\end {align}$$`

---

## 辅助回归法

**步骤**：

- 构建主回归模型，并进行OLS估计，得到残差序列（及其滞后p阶序列）；

- 根据残差图模式，构建相应的**残差辅助回归方程**（无截距模型），根据回归报告，得到**主模型**是否存在自相关性问题的初步结论。

**诊断依据**：

- 如果**残差辅助回归方程**的F检验**显著**，则表明主模型存在**残差辅助回归方程**所示的自相关性问题。

- 如果**残差辅助回归方程**的F检验**不显著**，则表明主模型不存在**残差辅助回归方程**所示的自相关性问题。

---

## 辅助回归法：OLS估计

利用主回归模型的残差序列
`$e_t$`，我们可以构建如下的**辅助回归模型**：

`$$\begin {align} 
e_t & = \hat{\rho}_1 e_{t-1}  + v_i 
\end {align}$$`

OLS估计的简要报告如下：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{et}=&&+0.87et.l1\\ &\text{(t)}&&(12.7360)\\&\text{(se)}&&(0.0681)\\&\text{(fitness)}&& R^2=0.7866;&& \bar{R^2}=0.7818\\& && F^{\ast}=162.21;&& p=0.0000 \end{alignedat} \end{equation}$$`

> **提示**：`et`表示残差序列
`$e_t$`，`et.l1`表示残差序列的1阶滞后变量
`$e_{t-1}$`。

---

## 自相关和偏相关分析法

**思路**：分析残差
`$e_t$`序列对
`$e_{t-1},e_{t-2},\cdots$`序列的自相关和偏相关统计图表报告（**注意滞后阶数的选择**）。

**步骤**：

- 对主模型进行OLS估计，得到残差
`$e_t$`序列

- 利用统计软件（`EViews`或`R`等）绘制残差序列的**自相关**和**偏相关**图表

- 观察和比对残差序列的**自相关**和**偏相关**图表，得到**主模型**是否存在自相关性问题的初步结论。

**诊断依据**：

- 观察**自相关**图和**偏相关**图的组合关系，判断残差序列的自相关性模式。

`$$\begin {align} 
e_t & = \hat{\rho}_1 e_{t-1} + \hat{\rho}_2 e_{t-2} + \cdots + \hat{\rho}_p e_{t-p} + v_i
&& \quad p \in (1, 2, \cdots, T-1) 
\end {align}$$`

---

### 案例：残差的自相关分析（ACF）（R软件）

对于工资和劳动率案例，残差
`$e_t$`序列的自相关图（ACF）为：

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="part01-slide-03-reg-relax-03-correlation_files/figure-html/unnamed-chunk-30-1.png" alt="残差序列et的自相关图（ACF）"  />
<p class="caption">残差序列et的自相关图（ACF）</p>
</div>

---

### 案例：残差序列的偏自相关分析（PACF）（R软件）

对于工资和劳动率案例，残差
`$e_t$`序列的偏自相关图（PACF）为：

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="part01-slide-03-reg-relax-03-correlation_files/figure-html/unnamed-chunk-31-1.png" alt="残差序列et的偏自相关图"  />
<p class="caption">残差序列et的偏自相关图</p>
</div>

---

### 案例：残差序列的自相关和偏自相关分析（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-pacf-test-proc.png" alt="残差自相关和偏相关分析的Eviews操作" width="466" />
<p class="caption">残差自相关和偏相关分析的Eviews操作</p>
</div>

---

### 案例：残差序列的自相关和偏自相关分析（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-pacf-test-report.png" alt="残差自相关和偏相关的Eviews报告" width="484" />
<p class="caption">残差自相关和偏相关的Eviews报告</p>
</div>

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

假设总体回归模型PRM存在如下1阶自相关,则可以认为存在：：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{t}+u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

`$$\begin {align} 
Y_{t} &=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{t}+e_{t} \\ 
e_t & = \hat{\rho} e_{t-1} + v_i
\end {align}$$`

那么就可以构造得到如下的样本**Durbin-Watson的d统计量**：

`$$\begin {align} 
d=\frac{\sum_{2}^{T}\left(\mathrm{e}_{t}-e_{t-1}\right)^{2}}{\sum_{1}^{T} e_{t}^{2}}
\end {align}$$`

- 它其实是用相继残差的差异的平方和与“残差平方和RSS”之比。

- 由于取相继差异时损失1个观测值，德宾-沃森d统计量的分子只有
`$T-1$`次观测值。

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

`$$\begin{align}
d &=\frac{\sum_{2}^{T}\left(\mathrm{e}_{t}-e_{t-1}\right)^{2}}{\sum_{2}^{T} e_{t}^{2}} \\
&=\frac{\sum \mathrm{e}_{t}^{2}+\sum e_{t-1}^{2}-2 \sum e_{t} e_{t-1}}{\sum e_{t}^{2}} 
&& \leftarrow \left[ \sum e_{t}^{2} \approx \sum e_{t-1}^{2} \right]\\ 
& \doteq 2\left(1-\frac{\sum e_{t} e_{t-1}}{\sum e_{t}^{2}}\right) 
&& \leftarrow \left[ \hat{\rho}=\frac{\sum e_{t} e_{t-1}}{\sum e_{t}^{2}} \right] \\ 
&=2(1-\hat{\rho}) \end{align}$$`

因为
`$0 \leq \hat{\rho} \leq 1$`，所以德宾-沃森d统计量
`$0 \leq d \leq 4$`，并具有如下**特征**：

- 如果
`$\hat{\rho}=+1$`，则
`$d=0$`，此时残差序列存在**完全1阶正自相关性**。

- 如果
`$\hat{\rho}=0$`，则
`$d=2$`，此时残差序列不存在**自相关性**。

- 如果
`$\hat{\rho}=-1$`，则
`$d=4$`，此时残差序列存在**完全1阶负自相关性**。

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

**德宾-沃森检验法的步骤**：

- 对主模型进行OLS估计，得到残差
`$e_t$`序列

- 得到主回归方程分析报告中的德宾-沃森d统计量（Durbin-Watson）

- 查找德宾-沃森统计量（Durbin-Watson）理论表，找到理论下界值
`$d_L$`和理论上界值
`$d_U$`。

- 比较德宾-沃森d统计量与查表值之间的关系，根据诊断依据，得到**主模型**是否存在自相关性问题的初步结论。

>Durbin-Watson统计量服从
`$\chi^2(n,k,\alpha)$` 分布，[具体可以参看Eviews在线帮助文档](http://www.eviews.com/help/helpintro.html#page/content/timeser-Testing_for_Serial_Correlation.html)

>下界值
`$d_L$`和上界值
`$d_U$`的理论值使用bootstrap方法仿真计算得到，与
`$(n,k,\alpha)$`有关

>下界值
`$d_L$`和上界值
`$d_U$`的理论查表值可以参考[在线文档](https://www3.nd.edu/~wevans1/econ30331/Durbin_Watson_tables.pdf)

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

**德宾-沃森检验法的诊断依据**（**后视镜法则**）：

-  如果
`$0< d <d_L$`，则表明主模可能存在的**1阶正自相关**问题。

-  如果
`$4-d_L< d <4$`，则表明主模型可能存在的**1阶负自相关**问题。

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

**德宾-沃森检验法的诊断依据**（**后视镜法则**）：

---

## 德宾-沃森检验法（Durbin-Watson test）

**德宾-沃森检验法的适用条件**：

- 回归模型含有截距项，如果没有截距项，就必须重新做带有截距的回归

- 解释变量
`$X_{2t},X_{3t},\cdots,X_{kt}$`是非随机的，或者说，在反复抽样中是被固定的.

- 随机干扰项
`$u_t$`是按**1阶自回归模式**产生的：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{2t} +\beta_{3} X_{3t}+ \cdots  +\beta_{k} X_{kt} +u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho u_{t-1}+\varepsilon_{t}  && \leftarrow \left[-1 <\rho<1 \right]
\end{aligned}$$`

- 因变量
`$Y_t$`的滞后变量
`$Y_{t-1}, Y_{t-2}, \cdots,Y_{t-q}$`不能当作解释变量之一。如模型：

`$$\begin {align} 
Y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{2 t}+\beta_{3} X_{3 t}+\cdots+\beta_{k} X_{k t}+\gamma Y_{t-1}+u_{t}
 \end {align}$$`

- 没有数据缺损，如果数据缺失，d统计量无法补偿。

---
class: page-font-21
### 案例：德宾-沃森检验（R软件）

工资-劳动率案例中，双对数**主回归模型**及其OLS回归结果为：

我们可以利用残差序列，采用`R`软件计算得到**德宾-沃森d统计量**：

```

Durbin-Watson test

data:  lm.main
DW = 0.21756, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0
```

- 根据主回归报告的计算结果，Durbin-Watson的d统计量为
`$d=$` 0.2175583。查表可知在当
`$(n='r n',k=3,\alpha=0.05)$`时，
`$d_L=1.475,d_U=1.566$`，表明
`$0<d<d_L$`，因此认为主模型可能存在的**1阶正自相关性**问题。

---

### 案例：德宾-沃森检验（EViews报告）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-eq-main-log-proc.png" alt="主回归模型Eviews操作" width="553" />
<p class="caption">主回归模型Eviews操作</p>
</div>

---

### 案例：德宾-沃森检验（EViews报告）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-eq-main-log-report.png" alt="主回归模型Eviews报告" width="640" />
<p class="caption">主回归模型Eviews报告</p>
</div>

---

## 拉格朗日乘数检验法（LM test）

**拉格朗日乘数检验**（LM test），也称为布罗施-戈弗雷检验（Breusch-Goldfrey，BG test）。

**拉格朗日乘数检验**假定随机干扰项
`$u_t$`服从如下的p阶自回归模式AR(p)：

**拉格朗日乘数检验**的原假设为：
`$H_0: \rho_1= \rho_2=\cdots=\rho_p=0$`

---

## 拉格朗日乘数检验法（LM test）

**拉格朗日乘数检验的适用条件**：

- 可以对**高阶自相关模式**[AR(p)]进行检验

- 允许非随机回归元

- 允许随机干扰项为自回归异动平均ARMA(p,q)模式。也即：

`$$\begin{aligned} 
Y_{t} &=\beta_{1}+\beta_{2} X_{2t} +\beta_{3} X_{3t}+ \cdots  +\beta_{k} X_{kt} +u_{t} \\ 
u_{t} &=\rho_1 u_{t-1}+ \rho_2 u_{t-2}+ \cdots + \rho_p u_{t-p}+ \varepsilon_{t} +\lambda_1\varepsilon_{t-1} +\lambda_2\varepsilon_{2} +\cdots +\lambda_q\varepsilon_{t-q} \\
\varepsilon_{t} & \sim iid N(0,1)
\end{aligned}$$`

---

## 拉格朗日乘数检验法（LM test）

**拉格朗日乘数检验的步骤**：

- 对主模型进行OLS估计，得到残差
`$e_t$`序列

- 再利用主回归模型的残差序列，做如下的**LM辅助回归**：

`$$\begin{aligned} 
resid_{t} &=\hat{\alpha}_1 + \hat{\alpha}_2 X_{2t}  + \hat{\alpha}_3 X_{3t} +\cdots + \hat{\alpha}_k X_{kt} 
+\hat{\rho}_1 e_{t-1}+ \hat{\rho}_2 e_{t-2}+ \cdots + \hat{\rho}_p e_{t-p}+ v_t 
\end{aligned}$$`

- 计算**LM辅助回归**方程的判定系数
`$R^2$`，并得到如下**LM统计量**（卡方统计量）：

`$$\begin {align} 
LM \equiv {\chi^2}^{\ast}=(n-p)R^2 \sim \chi^{2}(p)
\end {align}$$`

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## 拉格朗日乘数检验法（LM test）

**拉格朗日乘数检验的诊断依据**：

- 如果**LM辅助回归方程**的卡方检验**显著**，也即
`$LM \equiv {\chi^2}^{\ast} > \chi^2_{1-\alpha}(p)$`（对应的概率值P< 0.1），则表明**主模型**是存在**LM辅助回归方程**形式的自相关性问题。

- 如果**LM辅助回归方程**的卡方检验**不显著**，也即
`$LM \equiv {\chi^2}^{\ast}< \chi^2_{1-\alpha}(p)$`（对应的概率值P>0.1），则表明**主模型**是不存在**LM辅助回归方程**形式的自相关性问题。

---

### 案例：拉格朗日乘数检验

工资-劳动率案例中，双对数**主回归模型**及其OLS回归结果为：

我们可以利用残差序列构建
`$p=1$`的**LM辅助回归方程**：

`$$\begin{align} 
e_{t} &=\hat{\alpha}_1 + \hat{\alpha}_2 X_{2t} +\hat{\rho}_1 e_{t-1}+  v_t \end{align}$$`

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### 案例：拉格朗日乘数检验（R软件）

采用`R`软件的**拉格朗日乘数检验**结果为：

```

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order
	up to 1

data:  lm.main
LM test = 34.02, df = 1, p-value = 5.456e-09
```

`$$\begin{align}
resid_t = +0.0063 -0.0015log(X_t)+0.8687lag(resid)_1
\end{align}$$`

- 根据LM辅助方程的计算结果，LM统计量为
`$LM={\chi^2}^{\ast}=$` 34.0196，其对应的概率值p为0.0000。

- 查表也可知在当
`$n=$` 46,
`$k=$` 2,
`$\alpha=0.05$`时，
`$\chi^2_{1-\alpha}(p)=\chi^2_{0.95}($` 1 )= 3.841459要远远小于样本LM统计量值。

- 因此认为主模型可能存在**自相关性**问题。

> 提示：
`$resid_t$`表示
`$e_t$`；
`$lag(resid)_1$`表示
`$e_{t-1}$`。

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### 案例：拉格朗日乘数检验（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-LM-test.png" alt="拉格朗日自相关检验的Eviews操作" width="539" />
<p class="caption">拉格朗日自相关检验的Eviews操作</p>
</div>

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### 案例：拉格朗日乘数检验（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-LM-test-report.png" alt="拉格朗日自相关检验的Eviews报告" width="563" />
<p class="caption">拉格朗日自相关检验的Eviews报告</p>
</div>

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name: adjust-auto

# 3.3.4 序列自相关性问题的矫正

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<div class="my-footer"><span>huhuaping@ 
<a href="#chapter-navi">模块01 计量经济学基础 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#chapter03">第03章 放宽假设 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#auto"> 3.3 自相关（Auto-correlation）问题 |</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#adjust-auto"> 3.3.4 序列自相关性问题的矫正 </a> </span></div>

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## 广义差分方程法（自相关系数已知）

**广义差分方程法** ：对主回归方程进行合适的**广义差分变换**，使得变换以后的新模型不再有自相关问题，然后再使用OLS方法估计，从而得到参数估计的**BLUE**。

**广义差分法变换法**属于**广义最小二乘法**（GLS）的一种，专门用来处理随机干扰项出现自相关性问题的一种常用方法。

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## 广义差分方程法（自相关系数已知）

**广义差分方程法的原理**：如果主模型随机干扰项的**自相关系数**
`$\rho$`已知，则可以直接用差分变换得到新模型，容易证明新模型将不再有自相关问题。

下面将说明**1阶自相关**情形AR(1)下的**广义差分变换**的理论过程：

`$$\begin{align}
Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{(PRM)}\\
u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{(AR(1))} \\
\rho Y_{t-1} & =\rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{(Lag 1 Model)} \\
(Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && (\Delta\text{ Model} ) \\
Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{(Adjusted Model)} 
\end{align}$$`

其中，AR(1)模型中的
`$\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})$`。

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## 广义差分方程法：基于残差辅助方程

**矫正思路**：如果主模型随机干扰项的自相关系数未知，则可以直接用基于残差辅助方程估计得到
`$\hat{\rho}$`；再根据
`$\rho\simeq\hat{\rho}$`用广义差分变换得到新模型，容易证明新模型将不再有自相关问题。

如下将展示**1阶自相关**AR(1)情形下的广义差分变换的理论过程：

`$$\begin{align}
Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \\
u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{AR(1)} \\
Y_t & =\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_{2t}+e_{t} && \text{SRM} \\
e_t & =\hat{\rho}e_{t-1}+v_t && \text{Auxiliary Model} \\
\rho & \simeq \hat{\rho}  \\
\rho Y_{t-1} & =\rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \\
(Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && \Delta1\text{ Model} \\
Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} 
\end{align}$$`

其中，AR(1)模型中的
`$\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})$`。

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### 案例矫正：基于残差辅助方程（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-ar1-extract.png" alt="基于残差辅助方程近似计算自相关系数" width="450" />
<p class="caption">基于残差辅助方程近似计算自相关系数</p>
</div>

---

### 案例矫正：基于残差辅助方程（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-ar1.png" alt="基于残差辅助方程的广义差分矫正操作" width="429" />
<p class="caption">基于残差辅助方程的广义差分矫正操作</p>
</div>

---

### 案例矫正：基于残差辅助方程（EViews软件）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-ar1-report.png" alt="基于残差辅助方程的广义差分矫正报告" width="660" />
<p class="caption">基于残差辅助方程的广义差分矫正报告</p>
</div>

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## 广义差分方程法：基于D-W统计量

**矫正思路**：如果主模型随机干扰项的自相关系数未知，则可以基于Durbin-Waston检验的d统计量计算得到
`$\hat{\rho}$`，再根据
`$\rho\simeq\hat{\rho}$`用广义差分变换得到新模型，容易证明新模型将不再有自相关问题。

如下将展示一阶自相情形下的广义差分变换的理论过程

`$$\begin{align}
Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \\
u_t & =\rho u_{t-1}+\varepsilon_t && \text{AR(1)} \\
d   & \simeq2(1-\hat{\rho})      && \text{Durbin-Waston} \\
\hat{\rho} & \simeq 1-d/2 \\
\rho & \simeq \hat{\rho}  \\
\rho Y_{t-1} & =rho \beta_1+\beta_2\rho X_{2t-1}+\rho u_{t-1} && \text{Lag 1 Model}\\
(Y_t-\rho Y_{t-1}) & =\beta_1(1-\rho)+\beta_2(X_{2t}-\rho X_{2t-1})+(u_t-\rho u_{t-1}) && \Delta1\text{ Model} \\
Y^{\ast}_t & =\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} 
\end{align}$$`

其中，AR(1)模型中的
`$\varepsilon_t\sim i.i.d\ \ N(0,\sigma^2_{\varepsilon})$`。

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### 案例矫正：基于D-W统计量

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-dw-rho-extract.png" alt="基于Durbin-Waston统计量近似计算自相关系数" width="442" />
<p class="caption">基于Durbin-Waston统计量近似计算自相关系数</p>
</div>

---

### 案例矫正：基于D-W统计量

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-dw.png" alt="基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正操作" width="521" />
<p class="caption">基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正操作</p>
</div>

---

### 案例矫正：基于D-W统计量

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-dw-report.png" alt="基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正报告" width="645" />
<p class="caption">基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正报告</p>
</div>

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## 可行广义最小二乘法(FGLS)：基迭代法

**矫正思路**：

- 如果主模型随机干扰项的自相关系数未知，而且存在高阶自相关情形，则可以使用基于迭代的**可行广义最小二乘法**(FGLS)计算得到
`$\hat{\rho_1},\hat{\rho_2},\cdots,\hat{\rho_p}\  \quad p\in(1,2,\cdots)$`，再根据
`$\rho\simeq\hat{\rho}$`用广义差分变换得到新模型，容易证明新模型将不再有自相关问题。

- 这些迭代方法主要包括:

- **科克伦-奥克特迭代法**(Cochrane-Orcutt iterative procedure) ；
  
  - 科克伦-奥克特两步法(Cochrane-Orcutt two-step procedure) ；
  
  - 德宾两步法(Durbin two-step procedure) ；
  
  - 希尔德雷思-卢扫描或搜寻程序(Hildreth-Lu scanning or search procedure) 等

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## 可行广义最小二乘法(FGLS)：基于迭代法

如下将展示**科克伦-奥克特迭代法**下对二阶自相关（
`$AR(p),p=2$`）情形下的广义差分变换的理论过程

`$$\begin{align}
Y_t & =\beta_1+\beta_2X_{2t}+u_{t} && \text{PRM} \\
u_t & =\rho_1u_{t-1}+\rho_2u_{t-2}+\varepsilon_t && \text{AR(2)} \\
\cdots & && \text{Cochrane-Orcutt iterative} \notag \\
\rho_p & \simeq \hat{\rho_p} \notag \\
\rho_1Y_{t-1} & =\rho_1\beta_1+\beta_2\rho_1X_{2t-1}+\rho_1u_{t-1} && \text{Lag 1 Model} \\
\rho_2Y_{t-2} & =\rho_2\beta_1+\beta_2\rho_2X_{2t-2}+\rho_2u_{t-2} && \text{Lag 2 Model} \\
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
(Y_t-\rho_1Y_{t-1}-\rho_2Y_{t-2}) & =\beta_1(1-\rho_1-\rho_2)
 +\beta_2(X_{2t}-\rho_1X_{2t-1}-\rho_2X_{2t-2}) \\
& +(u_t-\rho_1u_{t-1}-\rho_2u_{t-2})  
&& \Delta2\text{ Model} \\
Y^{\ast}_t &=\beta^{\ast}_1+\beta^{\ast}_2X^{\ast}_{2t}+\varepsilon_{t} && \text{Adjusted Model} 
\end{align}$$`

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### 矫正案例：基于迭代法（FGLS）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-CO.png" alt="基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews操作" width="481" />
<p class="caption">基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews操作</p>
</div>

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### 矫正案例：基于迭代法（FGLS）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-CO-report.png" alt="基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews报告" width="500" />
<p class="caption">基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews报告</p>
</div>

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### 矫正案例：基于迭代法（FGLS）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-co-rho-extract.png" alt="基于科克伦-奥克特迭代法近似计算的自相关系数" width="469" />
<p class="caption">基于科克伦-奥克特迭代法近似计算的自相关系数</p>
</div>

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### 一致性标准误校正法（HAC）：尼威-威斯特(Newey-West)

**目标**：直接用尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正流程方法，构建回归分析模型，此时模型的自相关问题将会有所缓解。

**矫正思路**：利用统计软件（Eviews或R等），进行基于尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序的建模分析。

**理论提示**：（数学表达和证明过程略）

- 异方差-自相关一致性标准误（heteroscedasticity-autocorralation consistent standard errors，HAC）也被简称为尼威-威斯特一致性标准误(Newey-West consistent standard errors)

- 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序或菜单，在主流的统计软件里都会配置

- 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序，严格意义上对于大样本数据是有效的，因此不太适合于小样本数据的情形。

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### 矫正案例：一致性标准误校正法（HAC）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-NW.png" alt="尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的操作" width="487" />
<p class="caption">尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的操作</p>
</div>

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### 矫正案例：一致性标准误校正法（HAC）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pic/chpt9-adj-NW-report.png" alt="尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的Eviews报告" width="503" />
<p class="caption">尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的Eviews报告</p>
</div>

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# 本章结束