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计量经济学II

(Econometrics II)

胡华平

西北农林科技大学

经济管理学院数量经济教研室

huhuaping01@hotmail.com

2022-09-25

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自相关的概念与内涵

滞后变量(lag variable):对某个时间序列变量进行滞后变换后得到的新变量。

例如对时间序列变量 Z2,t(t1,2,,T)进行滞后变换可以得到多个滞后变量Z2,t1;Z2,t2;;Z2,tp;;Z2,t(T1)

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自相关的概念与内涵

时间序列数据的两种相关关系:

  • 序列相关(serial correlation):两个不同时间序列变量之间(或/及它们的滞后变量之间) 的(线性)相关关系。

cor(Z2,t,Z3,t)cor(Z2,t,Z3,t1);;cor(Z2,t,Z3,tp).p1,2,,T1cor(Z2,t1,Z3,t);;cor(Z2,tp,Z3,t).p1,2,,T1

  • 自相关(autocorrelation):某个时间序列变量与其自身滞后变量的(线性)相关关系。

cor(Z2,t,Z2,t1);cor(Z2,t,Z2,t2);;cor(Z2,t,Z2,tp).p1,2,,T1

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自相关的概念与内涵

k变量总体回归模型(PRM)

Yt=β1+β2X2t+β3X3t++βkXkt+ut

经典线性回归模型假定(CLRM)在随机干扰项 ui之间不存在自相关,也即:

E(ututp)=0;p1,2,,T1

如果随机干扰项 ui出现自相关时,则意味着违背了CLRM假设(其他假设仍旧成立):

E(ututp)0;p1,2,,T1

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自相关的概念与内涵(模拟演示)

随机干扰项 ut的几种自相关模式和非自相关模式可以表示为:

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产生自相关的原因1

产生自相关的原因1时间惯性的普遍存在。大多数经济时间序列变量都有时间惯性

  • GNP、价格指数、生产、就业和失业等时间序列变量都呈现出商业循环。
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产生自相关的原因2

产生自相关的原因2-1模型设定偏误——应含而未含某些重要变量(excluded variables) 。

  • 以牛肉需求模型为例。其中: Yt表示牛肉需求量; X2t表示牛肉价格; X3t表示消费者收入; X4t表示猪肉价格。

Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+ut

  • 如果我们把上述模型做成如下情形,在猪肉价格影响牛肉消费的情形下,新模型的残差 vt将表现出某种系统的模式。也即模型出现了错误设定,导致随机干扰项不满足CLRM假设。

Yt=α1+α2X2t+α3X3t+vt

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产生自相关的原因2

产生自相关的原因2-2模型设定偏误——不正确的函数形式。

  • 以企业边际成本-产出模型为例。如果“真实”的边际成本决定模型为:

Costt=β1+β2Outputt+β3Output2t+ut

  • 如果我们把上述模型做成如下情形(模型错误设定),由于模型函数形式的错误使用,残差 vt将反映出自相关性质(因为 vt=β3Output2t+ut)。

Costt=α1+α2Outputt+vt

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产生自相关的原因3

产生自相关的原因3:蛛网现象(Cobweb phenomenon)的存在。

  • 以农产品供给模型为例。如果在 当期(t期)价格 Pt的低于前一期(t-1期)价格 Pt1,那么在未来1期(t+1期),农户将会决定生产更少的农产品。如此往复决策,将会使得形成蛛网生产和价格模式。

Supplyt=β1+β2Pt1+ut

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产生自相关的原因4

产生自相关的原因4滞后效应的普遍存在。

  • 以消费支出模型为例。当期消费(t期)还会受到前期(t-1期)消费水平的影响。这种带有因变量的滞后变量 Consumptiont1的回归也叫自回归(auto-regression)。

Consumptiont=β1+β2Incomet+β3Consumptiont1+ut

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产生自相关的原因5

产生自相关的原因5:数据的“编造”

-从月度数据计算得出季度数据,会减小波动,引进匀滑作用,使扰动项出现系统性模式

  • 数据的内插(interpolation):人口普查10年一次

  • 数据的外推(extrapolation)

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产生自相关的原因6

产生自相关的原因6:数据的“变换”

  • 例如,有时候我们可以构造如下的一阶差分模型,这类模型也被称为动态回归模型(Dynamic regression)。

Yt=β1+β2Xt+utYt1=β1+β2Xt1+ut1ΔYt=β2ΔXt+ΔutΔYt=β2ΔXt+vt

  • 如果 YtXt都是已经经过了对数化处理,则一阶差分变换后的模型中随机干扰项 vt将会出现自相关模式。
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产生自相关的原因7

产生自相关的原因7:时间序列非平稳性的广泛存在。

Yt=β1+β2Xt+ut

  • 因变量 Yt和自变量 Xt很可能都是非平稳的。因此随机干扰项 ut也是非平稳的。此时,随机干扰项将表现出自相关。
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自相关的几种模式:视角1

直接观察视角:我们可以从随机干扰项 ut与其滞后变量 ut1,ut2,,utp,,ut(T1)的散点图来观察自相关模式(比较容易理解)。

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“幸福的家庭大抵类似,不幸的家庭各不相同!”——列夫托尔斯泰

“随机干扰项不相关只有一种情形(理想状态),而自相关则可以有各种千奇百怪的情形(普遍现实)”。

自相关的几种模式:视角2

间接观察视角:我们可以从随机干扰项 ut随时间t的散点图变化来观察自相关模式(不太好理解)。

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“幸福的家庭大抵类似,不幸的家庭各不相同!”——列夫托尔斯泰

“随机干扰项不相关只有一种情形(理想状态),而自相关则可以有各种千奇百怪的情形(普遍现实)”。

马尔可夫1阶自回归

下面给出自相关情形为马尔可夫1阶自回归模式

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

  • ρ被称为自协方差系数(coefficient of autocovariance)

ρ=E[(utE(ut))(ut1E(ut1))]var(ut)var(ut1)=E(utut1)var(ut1)

  • εt是满足以下标准CLRM假定的随机干扰项。此时 εt也被成为白噪声误差项(white noise error Term)。

E(εt)=0var(εt)=σ2cov(εt,εt+s)=0s0

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出现自相关性时的态度1

态度1:忽视自相关性,坚持错误地使用CLRM假设下OLS方法的各种公式。

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

自相关性存在的情形下(马尔科夫1阶自相关),却坚持使用OLS方法下的方差公式:

ˆβ2CLRMOLS=xtytx2t=nXtYtXtYtnX2t(Xt)2

var(ˆβ2)CLRMOLS=σ2x2t

  • 坚持使用的方差公式 var(ˆβ2)CLRMOLS是有偏的,可能高估或低估其真实方差 var(ˆβ2)
  • 坚持使用回归误差方差公式 ˆσ2CLRMOLS=e2in2,并不是真值 σ2无偏估计量
  • 进一步地,置信区间、t检验和F检验也将不准确。
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出现自相关性时的态度2

态度2:承认“自相关性”这一事实,但仍旧使用OLS方法。

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

自相关性存在的情形下(马尔科夫1阶自相关),仍旧使用OLS方法,得到估计量及其方差的“新公式”(细节见下一页slide):

ˆβ2AR1OLS=xtytx2t=nXtYtXtYtnX2t(Xt)2

var(ˆβ2)AR1OLS=σ2x2t1+rρ1rρ=var(ˆβ2)CLRMOLS1+rρ1rρ

  • 系数估计量仍是一致的;方差公式是有偏的,可能高估或低估其真实方差 var(ˆβ2)

  • 请验证 r=0.6,ρ=0.8时,二者的大小关系?

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附录:方差计算细节

给定马尔科夫1阶自相关情形(AR(1)):

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

var(ut)=E(u2t)=σ2ε1ρ2cov(ut,uts)=cov(ut,ut+s)=E(ututs)=ρsσ2ε1ρ2cor(ut,uts)=cor(ut,ut+s)=ρs

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附录:方差计算细节

var(ˆβ2)AR1OLS=σ2x2t[1+2ρxtxt1x2t+2ρ2xtxt2x2t++2ρn1x1xnx2t]=σ2x2t1+rρ1rρ[ifXt=rXt1+vt]

  • ρ=1,上述方差和协方差将不能定义;若 |ρ|<1ut的均值、方差和协方差都不随时间而变化。AR(1)过程被称为是平稳的。此时,协方差的值将随着两个误差的时间间隔越远而越小。
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出现自相关性时的态度3

态度3:在自相关性存在情形下,首先想办法消除自相关性,再使用OLS方法。广义最小二乘法(GLS)下(如广义差分方程法),估计量及其方差公式可写成:

ˆβ2AR1GLS=nt=2(xtρxt1)(ytρyt1)nt=2(xtρxt1)2+C[C is a correction factor]

var(ˆβ2)AR1GLS=σ2nt=2(xtρxt1)2+D[D is a correction factor]

  • 系数估计量是一致的

  • 方差公式是无偏的,其期望将等于真实方差 var(ˆβ2)

  • 此时,GLS得到的才是BLUE!(证明过程略)

提示:GLS中我们通过变量变换把额外的信息(异方差性或自相关性)包括到估计程序中去,而在OLS 中我们并不直接考虑这种附加信息。

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出现自相关性时的态度:总结

  • 态度1:“把头埋进沙堆的鸵鸟”

var(ˆβ2)CLRMOLS=σ2x2t

  • 态度2:“将错就错地走下去”

var(ˆβ2)AR1OLS=σ2x2t1+rρ1rρ=var(ˆβ2)CLRMOLS1+rρ1rρ

  • 态度3:“直面困难找出路”

var(ˆβ2)AR1GLS=σ2nt=2(xtρxt1)2+D[D is a correction factor]

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出现自相关时使用OLS 的后果

在自相关出现时,OLS 估计量仍是线性的、无偏的和一致性的,但不再是有效的(亦即最小方差)。那么,如果我们继续使用OLS估计量,我们平常的假设检验程序会遇到什么问题呢?主要有:

  • 参数估计不再是有效估计量(亦即不再是方差最小)

  • 参数的显著性检验失去意义

  • 模型的预测失效

下面分两种情形来讨论其后果:

  • 态度1:忽视自相关,采用OLS估计

  • 态度2:考虑自相关,采用OLS估计

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出现自相关时使用OLS 的后果(态度1和态度2)

对于态度1态度2,执意采用OLS估计,将会:残差方差可能低估真实方差;高估可绝系数;或低估考虑一阶自回归的方差;检验无效,得出错误的结论。

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

CLRM条件下采用OLS估计:

ˆβ2CLRMOLS=xtytx2tvar(ˆβ2)CLRMOLS=σ2x2tˆσ2CLRMOLS=e2in2E(ˆσ2CLRMOLS)=σ2

AR(1)情形下使用OLS估计:

ˆβ2AR1OLS=xtytx2tvar(ˆβ2)AR1OLS=σ2x2t1+rρ1rρˆσ2AR1OLS=σ2{n[2(1ρ)2ρr]}n2E(ˆσ2AR1OLS)<σ2

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出现自相关时使用OLS 的后果

实际经济分析中,正自相关性一般更为普遍,也即 (0<ρ<1;0<r<1)。此时:

var(ˆβ2)AR1OLS=σ2x2t1+rρ1rρ=var(ˆβ2)CLRMOLS1+rρ1rρvar(ˆβ2)AR1OLS>var(ˆβ2)CLRMOLS[if0<ρ<1;0<r<1]

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出现自相关时使用OLS 的后果

事实上,在AR(1)情形下采用广义最小二乘法(GLS)才能得到BLUE,意味着:

var(ˆβ2)AR1OLS>var(ˆβ2)CLRMOLS>var(ˆβ2)AR1GLS

同时,也将意味着GLS方法下斜率系数的置信区间也将更窄

  • 如果一个对斜率参数 β2的点估计值为 b2,并给定显著性水平为 α=0.05

  • 那么则有可能出现如下结果:在OLS方法下,95%置信区间检验不显著(接受原假设 H0);但是在GLS方法下,95%置信区间检验却可以是显著的(拒绝原假设 H0,接受备择假设 H1

启示:尽管OLS 估计量是无偏的和一致性的,但为了构造置信区间并检验假设,要用GLS而不用OLS!

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蒙特卡洛模拟(数据生成1)

给定如下存在自相关情形AR(1)的模拟数据表(观测数 T= 9):

Yt=1+0.8Xt+utut=0.7ut1+εt[u0=5]εtN(0,1)[ε0=0]

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蒙特卡洛模拟(随机干扰项模式1)

存在自相关情形AR(1)的模拟数据,随机干扰项 ut的分布模式如下:

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蒙特卡洛模拟(回归分析1)

对以上存在AR(1)的模拟数据,我们构建如下的回归模型,并坚持采用OLS方法得到估计结果:

Yt=+β1+β2Xt+ut

^Yt=+4.30+0.51Xt(t)(6.7249)(4.4750)(se)(0.6389)(0.1135)(fitness)R2=0.7410;¯R2=0.7040F=20.03;p=0.0029

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蒙特卡洛模拟(回归线1)

对OLS方法下的样本回归线(SRL1)绘图,并与真实的总体回归线(PRL)进行对比:

E(Y|Xt)=1+0.8Xt(PRL/PRF)

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蒙特卡洛模拟(数据生成2)

如果我们使用符合CLRM假设的模拟数据 (Yt,Xt),其中:

Yt=1+0.8Xt+εtεtN(0,1)[ε0=0]

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蒙特卡洛模拟(随机干扰项模式2)

符合CLRM假设的模拟数据,随机干扰项 εt的分布模式如下:

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蒙特卡洛模拟(回归分析2)

对以上符合CLRM假设模拟数据,我们构建如下的回归模型,并采用OLS方法得到估计结果:

^NewYt=+0.48+0.73Xt(t)(0.6331)(5.4323)(se)(0.7569)(0.1345)(fitness)R2=0.8083;¯R2=0.7809F=29.51;p=0.0010

注意:此处的 ^NewYt表示 ˆYt

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蒙特卡洛模拟(回归线2)

对OLS方法下的样本回归线(SRL2)绘图,并与真实的总体回归线(PRL)进行对比:

E(Y|Xt)=1+0.8Xt(PRL/PRF)

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工资与生产率案例

1960-2005年间美国商业部门工资与生产率数据(T= 46 )

  • Yt表示时均真实工资指数;

  • Xt表示生产效率指数

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回归分析

对以上数据,我们可以分别构建如下的经典线性回归模型双对数模型,并坚持采用OLS方法得到估计结果:

Yt=+β1+β2Xt+ut

^Yt=+4.30+0.51Xt(t)(6.7249)(4.4750)(se)(0.6389)(0.1135)(fitness)R2=0.7410;¯R2=0.7040F=20.03;p=0.0029

log(Yt)=+β1+β2log(Xt)+ut

^log(Yt)=+1.45+0.31log(Xt)(t)(15.6171)(5.2716)(se)(0.0930)(0.0590)(fitness)R2=0.7988;¯R2=0.7700F=27.79;p=0.0012

思考:

  • 我们的数据是否受到自相关问题的困扰?

  • 我们如何发现自相关问题并加以纠正?

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图示法

图示法重点关注模型残差序列( et)是否存在某种系统化模式。总体回归模型PRM中随机干扰项 ut是不能直接观测到,所以可通过观察样本回归模型SRM中残差的行为模式,间接诊断随机干扰项是否存在自相关性问题。

  • 图形1:残差序列 et时序图(serial plot,也即残差 et随时期 t的变化图)。

  • 图形2:残差序列 et与残差1阶滞后序列 et1散点图(scatter plot)。

  • 图形3:残差序列 et与残差p阶滞后序列 etp,p(2,3,,T1)散点图(scatter plot)。

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图示法:案例演示(主回归)

首先构建如下双对数主回归模型

log(Yt)=+ˆβ1+ˆβ2log(Xt)+ei

双对数主回归模型回归结果为:

^log(Yt)=+1.61+0.65log(Xt)(t)(29.3680)(52.7996)(se)(0.0547)(0.0124)(fitness)R2=0.9845;¯R2=0.9841F=2787.80;p=0.0000

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图示法:案例演示(主回归EViews报告)

作为对照,下面给出的是主模型的EViews报告:

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图示法:案例演示(残差数据)

得到主回归模型的残差序列 et、残差1阶滞后序列 et1,以及标准化变换的残差序列 et=etSet

提示Yt表示时均真实工资指数; Xt表示生产效率指数; et=etSet=ete2t/(T1)

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图示法:案例演示(残差模式1)

残差序列( et)和1/100标准化残差( 0.01et时序图(serial plot)如下:

提示et表示残差序列( et);et.std/100表示1/100标准化残差序列( et/100)。

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图示法:案例演示(残差模式2)

残差序列 et与残差1阶滞后序列 et1散点图(scatter plot)为:

提示:因为残差滞后1期序列 et1的观测数只有45,所以此处只显示45个观测点。

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辅助回归法

思路:利用样本数据,构建并分析残差 et序列对 et1,et2,序列的辅助回归方程,从而间接判断随机干扰项 ut的自相关性模式。

考虑如下的对应关系:

ut=ρ1ut1+ρ2ut2++ρputpp(1,2,,T1)et=ˆρ1et1+ˆρ2et2++ˆρpetp+vip(1,2,,T1)

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辅助回归法

步骤

  • 构建主回归模型,并进行OLS估计,得到残差序列(及其滞后p阶序列);

  • 根据残差图模式,构建相应的残差辅助回归方程(无截距模型),根据回归报告,得到主模型是否存在自相关性问题的初步结论。

诊断依据

  • 如果残差辅助回归方程的F检验显著,则表明主模型存在残差辅助回归方程所示的自相关性问题。

  • 如果残差辅助回归方程的F检验不显著,则表明主模型不存在残差辅助回归方程所示的自相关性问题。

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辅助回归法:OLS估计

利用主回归模型的残差序列 et,我们可以构建如下的辅助回归模型

et=ˆρ1et1+vi

OLS估计的简要报告如下:

^et=+0.87et.l1(t)(12.7360)(se)(0.0681)(fitness)R2=0.7866;¯R2=0.7818F=162.21;p=0.0000

提示et表示残差序列 etet.l1表示残差序列的1阶滞后变量 et1

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自相关和偏相关分析法

思路:分析残差 et序列对 et1,et2,序列的自相关和偏相关统计图表报告(注意滞后阶数的选择)。

步骤

  • 对主模型进行OLS估计,得到残差 et序列

  • 利用统计软件(EViewsR等)绘制残差序列的自相关偏相关图表

  • 观察和比对残差序列的自相关偏相关图表,得到主模型是否存在自相关性问题的初步结论。

诊断依据

  • 观察自相关图和偏相关图的组合关系,判断残差序列的自相关性模式。

et=ˆρ1et1+ˆρ2et2++ˆρpetp+vip(1,2,,T1)

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案例:残差的自相关分析(ACF)(R软件)

对于工资和劳动率案例,残差 et序列的自相关图(ACF)为:

残差序列et的自相关图(ACF)

残差序列et的自相关图(ACF)

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案例:残差序列的偏自相关分析(PACF)(R软件)

对于工资和劳动率案例,残差 et序列的偏自相关图(PACF)为:

残差序列et的偏自相关图

残差序列et的偏自相关图

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案例:残差序列的自相关和偏自相关分析(EViews软件)

残差自相关和偏相关分析的Eviews操作

残差自相关和偏相关分析的Eviews操作

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案例:残差序列的自相关和偏自相关分析(EViews软件)

残差自相关和偏相关的Eviews报告

残差自相关和偏相关的Eviews报告

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

假设总体回归模型PRM存在如下1阶自相关,则可以认为存在::

Yt=β1+β2Xt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

Yt=ˆβ1+ˆβ2Xt+etet=ˆρet1+vi

那么就可以构造得到如下的样本Durbin-Watson的d统计量

d=T2(etet1)2T1e2t

  • 它其实是用相继残差的差异的平方和与“残差平方和RSS”之比。

  • 由于取相继差异时损失1个观测值,德宾-沃森d统计量的分子只有 T1次观测值。

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

d=T2(etet1)2T2e2t=e2t+e2t12etet1e2t[e2te2t1]2(1etet1e2t)[ˆρ=etet1e2t]=2(1ˆρ)

因为 0ˆρ1,所以德宾-沃森d统计量 0d4,并具有如下特征

  • 如果 ˆρ=+1,则 d=0,此时残差序列存在完全1阶正自相关性

  • 如果 ˆρ=0,则 d=2,此时残差序列不存在自相关性

  • 如果 ˆρ=1,则 d=4,此时残差序列存在完全1阶负自相关性

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

德宾-沃森检验法的步骤

  • 对主模型进行OLS估计,得到残差 et序列

  • 得到主回归方程分析报告中的德宾-沃森d统计量(Durbin-Watson)

  • 查找德宾-沃森统计量(Durbin-Watson)理论表,找到理论下界值 dL和理论上界值 dU

  • 比较德宾-沃森d统计量与查表值之间的关系,根据诊断依据,得到主模型是否存在自相关性问题的初步结论。

Durbin-Watson统计量服从 χ2(n,k,α) 分布,具体可以参看Eviews在线帮助文档

下界值 dL和上界值 dU的理论值使用bootstrap方法仿真计算得到,与 (n,k,α)有关

下界值 dL和上界值 dU的理论查表值可以参考在线文档

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

德宾-沃森检验法的诊断依据后视镜法则):

  • 如果 0<d<dL,则表明主模可能存在的1阶正自相关问题。

  • 如果 4dL<d<4,则表明主模型可能存在的1阶负自相关问题。

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

德宾-沃森检验法的诊断依据后视镜法则):

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德宾-沃森检验法(Durbin-Watson test)

德宾-沃森检验法的适用条件

  • 回归模型含有截距项,如果没有截距项,就必须重新做带有截距的回归

  • 解释变量 X2t,X3t,,Xkt是非随机的,或者说,在反复抽样中是被固定的.

  • 随机干扰项 ut是按1阶自回归模式产生的:

Yt=β1+β2X2t+β3X3t++βkXkt+utut=ρut1+εt[1<ρ<1]

  • 因变量 Yt的滞后变量 Yt1,Yt2,,Ytq不能当作解释变量之一。如模型:

Yt=β1+β2X2t+β3X3t++βkXkt+γYt1+ut

  • 没有数据缺损,如果数据缺失,d统计量无法补偿。
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案例:德宾-沃森检验(R软件)

工资-劳动率案例中,双对数主回归模型及其OLS回归结果为:

^log(Yt)=+1.61+0.65log(Xt)(t)(29.3680)(52.7996)(se)(0.0547)(0.0124)(fitness)R2=0.9845;¯R2=0.9841F=2787.80;p=0.0000

我们可以利用残差序列,采用R软件计算得到德宾-沃森d统计量

Durbin-Watson test
data: lm.main
DW = 0.21756, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0
  • 根据主回归报告的计算结果,Durbin-Watson的d统计量为 d= 0.2175583。查表可知在当 (n=rn,k=3,α=0.05)时, dL=1.475,dU=1.566,表明 0<d<dL,因此认为主模型可能存在的1阶正自相关性问题。
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案例:德宾-沃森检验(EViews报告)

主回归模型Eviews操作

主回归模型Eviews操作

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案例:德宾-沃森检验(EViews报告)

主回归模型Eviews报告

主回归模型Eviews报告

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拉格朗日乘数检验法(LM test)

拉格朗日乘数检验(LM test),也称为布罗施-戈弗雷检验(Breusch-Goldfrey,BG test)。

拉格朗日乘数检验假定随机干扰项 ut服从如下的p阶自回归模式AR(p):

Yt=β1+β2X2t+β3X3t++βkXkt+utut=ρ1ut1+ρ2ut2++ρputp+εt

拉格朗日乘数检验的原假设为: H0:ρ1=ρ2==ρp=0

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拉格朗日乘数检验法(LM test)

拉格朗日乘数检验的适用条件

  • 可以对高阶自相关模式[AR(p)]进行检验

  • 允许非随机回归元

  • 允许随机干扰项为自回归异动平均ARMA(p,q)模式。也即:

Yt=β1+β2X2t+β3X3t++βkXkt+utut=ρ1ut1+ρ2ut2++ρputp+εt+λ1εt1+λ2ε2++λqεtqεtiidN(0,1)

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拉格朗日乘数检验法(LM test)

拉格朗日乘数检验的步骤

  • 对主模型进行OLS估计,得到残差 et序列

  • 再利用主回归模型的残差序列,做如下的LM辅助回归

residt=ˆα1+ˆα2X2t+ˆα3X3t++ˆαkXkt+ˆρ1et1+ˆρ2et2++ˆρpetp+vt

  • 计算LM辅助回归方程的判定系数 R2,并得到如下LM统计量(卡方统计量):

LMχ2=(np)R2χ2(p)

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拉格朗日乘数检验法(LM test)

拉格朗日乘数检验的诊断依据

  • 如果LM辅助回归方程的卡方检验显著,也即 LMχ2>χ21α(p)(对应的概率值P< 0.1),则表明主模型是存在LM辅助回归方程形式的自相关性问题。

  • 如果LM辅助回归方程的卡方检验不显著,也即 LMχ2<χ21α(p)(对应的概率值P>0.1),则表明主模型是不存在LM辅助回归方程形式的自相关性问题。

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案例:拉格朗日乘数检验

工资-劳动率案例中,双对数主回归模型及其OLS回归结果为:

^log(Yt)=+1.61+0.65log(Xt)(t)(29.3680)(52.7996)(se)(0.0547)(0.0124)(fitness)R2=0.9845;¯R2=0.9841F=2787.80;p=0.0000

我们可以利用残差序列构建 p=1LM辅助回归方程

et=ˆα1+ˆα2X2t+ˆρ1et1+vt

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案例:拉格朗日乘数检验(R软件)

采用R软件的拉格朗日乘数检验结果为:

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order
up to 1
data: lm.main
LM test = 34.02, df = 1, p-value = 5.456e-09

residt=+0.00630.0015log(Xt)+0.8687lag(resid)1

  • 根据LM辅助方程的计算结果,LM统计量为 LM=χ2= 34.0196,其对应的概率值p为0.0000。

  • 查表也可知在当 n= 46, k= 2, α=0.05时, χ21α(p)=χ20.95( 1 )= 3.841459要远远小于样本LM统计量值。

  • 因此认为主模型可能存在自相关性问题。

提示: residt表示 etlag(resid)1表示 et1

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案例:拉格朗日乘数检验(EViews软件)

拉格朗日自相关检验的Eviews操作

拉格朗日自相关检验的Eviews操作

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案例:拉格朗日乘数检验(EViews软件)

拉格朗日自相关检验的Eviews报告

拉格朗日自相关检验的Eviews报告

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广义差分方程法(自相关系数已知)

广义差分方程法 :对主回归方程进行合适的广义差分变换,使得变换以后的新模型不再有自相关问题,然后再使用OLS方法估计,从而得到参数估计的BLUE

广义差分法变换法属于广义最小二乘法(GLS)的一种,专门用来处理随机干扰项出现自相关性问题的一种常用方法。

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广义差分方程法(自相关系数已知)

广义差分方程法的原理:如果主模型随机干扰项的自相关系数 ρ已知,则可以直接用差分变换得到新模型,容易证明新模型将不再有自相关问题。

下面将说明1阶自相关情形AR(1)下的广义差分变换的理论过程:

Yt=β1+β2X2t+ut(PRM)ut=ρut1+εt(AR(1))ρYt1=ρβ1+β2ρX2t1+ρut1(Lag 1 Model)(YtρYt1)=β1(1ρ)+β2(X2tρX2t1)+(utρut1)(Δ Model)Yt=β1+β2X2t+εt(Adjusted Model)

其中,AR(1)模型中的 εti.i.d  N(0,σ2ε)

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广义差分方程法:基于残差辅助方程

矫正思路:如果主模型随机干扰项的自相关系数未知,则可以直接用基于残差辅助方程估计得到 ˆρ;再根据 ρˆρ用广义差分变换得到新模型,容易证明新模型将不再有自相关问题。

如下将展示1阶自相关AR(1)情形下的广义差分变换的理论过程:

Yt=β1+β2X2t+utPRMut=ρut1+εtAR(1)Yt=ˆβ1+ˆβ2X2t+etSRMet=ˆρet1+vtAuxiliary ModelρˆρρYt1=ρβ1+β2ρX2t1+ρut1Lag 1 Model(YtρYt1)=β1(1ρ)+β2(X2tρX2t1)+(utρut1)Δ1 ModelYt=β1+β2X2t+εtAdjusted Model

其中,AR(1)模型中的 εti.i.d  N(0,σ2ε)

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案例矫正:基于残差辅助方程(EViews软件)

基于残差辅助方程近似计算自相关系数

基于残差辅助方程近似计算自相关系数

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案例矫正:基于残差辅助方程(EViews软件)

基于残差辅助方程的广义差分矫正操作

基于残差辅助方程的广义差分矫正操作

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案例矫正:基于残差辅助方程(EViews软件)

基于残差辅助方程的广义差分矫正报告

基于残差辅助方程的广义差分矫正报告

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广义差分方程法:基于D-W统计量

矫正思路:如果主模型随机干扰项的自相关系数未知,则可以基于Durbin-Waston检验的d统计量计算得到 ˆρ,再根据 ρˆρ用广义差分变换得到新模型,容易证明新模型将不再有自相关问题。

如下将展示一阶自相情形下的广义差分变换的理论过程

Yt=β1+β2X2t+utPRMut=ρut1+εtAR(1)d2(1ˆρ)Durbin-Wastonˆρ1d/2ρˆρρYt1=rhoβ1+β2ρX2t1+ρut1Lag 1 Model(YtρYt1)=β1(1ρ)+β2(X2tρX2t1)+(utρut1)Δ1 ModelYt=β1+β2X2t+εtAdjusted Model

其中,AR(1)模型中的 εti.i.d  N(0,σ2ε)

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案例矫正:基于D-W统计量

基于Durbin-Waston统计量近似计算自相关系数

基于Durbin-Waston统计量近似计算自相关系数

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案例矫正:基于D-W统计量

基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正操作

基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正操作

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案例矫正:基于D-W统计量

基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正报告

基于Durbin-Waston统计量的广义差分模型矫正报告

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可行广义最小二乘法(FGLS):基迭代法

矫正思路

  • 如果主模型随机干扰项的自相关系数未知,而且存在高阶自相关情形,则可以使用基于迭代的可行广义最小二乘法(FGLS)计算得到 ^ρ1,^ρ2,,^ρp p(1,2,),再根据 ρˆρ用广义差分变换得到新模型,容易证明新模型将不再有自相关问题。

  • 这些迭代方法主要包括:

    • 科克伦-奥克特迭代法(Cochrane-Orcutt iterative procedure) ;

    • 科克伦-奥克特两步法(Cochrane-Orcutt two-step procedure) ;

    • 德宾两步法(Durbin two-step procedure) ;

    • 希尔德雷思-卢扫描或搜寻程序(Hildreth-Lu scanning or search procedure) 等

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可行广义最小二乘法(FGLS):基于迭代法

如下将展示科克伦-奥克特迭代法下对二阶自相关( AR(p),p=2)情形下的广义差分变换的理论过程

Yt=β1+β2X2t+utPRMut=ρ1ut1+ρ2ut2+εtAR(2)Cochrane-Orcutt iterativeρp^ρpρ1Yt1=ρ1β1+β2ρ1X2t1+ρ1ut1Lag 1 Modelρ2Yt2=ρ2β1+β2ρ2X2t2+ρ2ut2Lag 2 Model

(Ytρ1Yt1ρ2Yt2)=β1(1ρ1ρ2)+β2(X2tρ1X2t1ρ2X2t2)+(utρ1ut1ρ2ut2)Δ2 ModelYt=β1+β2X2t+εtAdjusted Model

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矫正案例:基于迭代法(FGLS)

基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews操作

基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews操作

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矫正案例:基于迭代法(FGLS)

基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews报告

基于科克伦-奥克特迭代法的FGLS模型矫正Eviews报告

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矫正案例:基于迭代法(FGLS)

基于科克伦-奥克特迭代法近似计算的自相关系数

基于科克伦-奥克特迭代法近似计算的自相关系数

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一致性标准误校正法(HAC):尼威-威斯特(Newey-West)

目标:直接用尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正流程方法,构建回归分析模型,此时模型的自相关问题将会有所缓解。

矫正思路:利用统计软件(Eviews或R等),进行基于尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序的建模分析。

理论提示:(数学表达和证明过程略)

  • 异方差-自相关一致性标准误(heteroscedasticity-autocorralation consistent standard errors,HAC)也被简称为尼威-威斯特一致性标准误(Newey-West consistent standard errors)

  • 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序或菜单,在主流的统计软件里都会配置

  • 尼威-威斯特(Newey-West)一致性标准误矫正程序,严格意义上对于大样本数据是有效的,因此不太适合于小样本数据的情形。

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矫正案例:一致性标准误校正法(HAC)

尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的操作

尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的操作

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矫正案例:一致性标准误校正法(HAC)

尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的Eviews报告

尼威-威斯特(Newey-West)矫正法的Eviews报告

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本章结束

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