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# 计量经济学(Econometrics)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2023-02-15

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---
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name: chapter02

# 第2章：一元回归的基本思想

[2.1 “回归”的历史渊源](#history)

[2.2 术语与符号](#notation)

[2.3 数据的类型和性质](#data)

[2.4 一个假想的微型总体](#micro-world)

[2.5 一些重要的概念](#concepts)

[2.6 总体回归](#population)

[2.7 样本回归](#sample)

---
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name: history

# 2.1 “回归”的历史渊源

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a>   
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&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#history"> 2.1 “回归”的历史渊源 </a></span></div>

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## 身高数据

皮尔逊和高尔顿的身高数据（1888年）：

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## 回归到中等

高尔顿的发现：

- 父母高，儿女也高；父母矮，儿女也矮

- 但给定父母的身高，儿女的平均身高却趋向于或者"回归"到全体人口的平均身高。

皮尔逊的证实:

- 收集一些家庭群体的一千多名成员的身高记录。

- 两组样本：父亲高的群体VS父亲矮的群体

- 父亲高的群体，子辈平均身高要低于其父辈；
    
    - 父亲矮的群体，子辈平均身高要高于其父辈。

“回归到中等”(regression to mediocrity)的趋势，回归由此而得名

---

## “回归”的现代解释

- 简单地，回归分析研究被解释变量（Y）对一个或多个解释变量（X）之间的依赖关系及规律性。

- 正式地，回归分析通过解释变量（抽样样本中）的观测值（X），去估计和（或）预测被解释变量（Y）的**均值**（总体期望）。

---

### 案例说明：子辈身高

- 给定父亲身高，在一个假想人口总体中的子辈身高分布。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-case1-height.png" alt="给定父亲身高时儿子身高的假想分布" width="568" />
<p class="caption">给定父亲身高时儿子身高的假想分布</p>
</div>

---

### 案例说明：年龄身高

- 给定年龄，男孩子身高总体的分布。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-case2-age.png" alt="对应于选定年龄的假想身高分布" width="571" />
<p class="caption">对应于选定年龄的假想身高分布</p>
</div>

---

### 案例说明：消费函数

给定税后或可支配收入，个人消费是如何分布的。这种分析有助于估计边际消费倾向（MPC），就是实际收入每美元价值的变化所引起的消费支出的平均变化。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chp1-model-eco.png" alt="线性形式的凯恩斯消费模型" width="465" />
<p class="caption">线性形式的凯恩斯消费模型</p>
</div>

---

### 案例说明：货币工资

失业率是怎样影响货币工资变化的。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-case3-philips-curve.png" alt="假想的菲利普斯曲线" width="504" />
<p class="caption">假想的菲利普斯曲线</p>
</div>

---

### 案例说明：货币持有

通货膨胀率如何影响人们以货币形式持有的收入比例的变化。根据货币经济学，其他条件不变，通货膨胀率
`$\pi$`越高，人们愿意以货币形式持有的收入比例
`$k$`越低

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-case4-inflation.png" alt="货币持有与通货膨胀率的关系" width="429" />
<p class="caption">货币持有与通货膨胀率的关系</p>
</div>

---
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name: notation

# 2.2 术语与符号

---
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<div class="my-header-h2"></div>
<div class="watermark1"></div>
<div class="watermark2"></div>
<div class="watermark3"></div>

<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#notation"> 2.2 术语与符号 </a></span></div>

---

## X和Y

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>X和Y的各种术语约定</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Y </th>
   <th style="text-align:left;"> X </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 被解释变量(Explained variable) </td>
   <td style="text-align:left;"> 解释变量(Explanatory variable) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 因变量(Dependent variable) </td>
   <td style="text-align:left;"> 自变量(Independent variable) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 预测子(Predictand) </td>
   <td style="text-align:left;"> 预测元(Predictor) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 回归子(Regressand) </td>
   <td style="text-align:left;"> 回归元(Regressor) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 响应变量(Response variable) </td>
   <td style="text-align:left;"> 刺激变量 (Stimulus  variable) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 内生(Endogenous) </td>
   <td style="text-align:left;"> 外生(Exogenous) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 结果变量(Outcome) </td>
   <td style="text-align:left;"> 协变量(Covariate) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 被控变量(Controlled variable) </td>
   <td style="text-align:left;"> 控制变量(Control variable) </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

## ？元回归

双变量回归分析(two-variable regression analysis)：

- 研究一个变量对仅仅一个解释变量的依赖关系

- 如消费支出对实际收入的依赖关系

多元回归分析(multiple regression analysis)：

- 研究一个变量对多于一个解释变量的依赖关系

- 如农作物收成依赖于气温、降雨量、阳光和施肥量等；

---

## 模型符号

- 因变量：
`$Y$`，具体记为
`$Y_i$`,

- 解释变量：
`$X$`，记为
`$X_1,X_2,\cdots,X_k$`.
    - 
    `$X_k$`具体记为：
    `$X_{k1},X_{k2},\cdots,X_{kn}$`.
    - 
    `$X_k$`代表第
    `$k$`个解释变量，下标
    `$i$`（或
    `$t$`）则表示第
    `$i$`（或
    `$t$`）个观测值。

---

## 情景符号

- 总体容量：即总体中的观测值总个数

- 
    `$N$`（横截面数据下使用）
    
    - 
    `$T$`（时间序列数据下使用）

- 样本容量：即样本中的观测值总个数

- 
    `$n$`（横截面数据下使用）
    - 
    `$t$`（时间序列数据下使用）

横截面数据(cross-sectional data)：用观测值下标i来表示，这是指在一个时间点上搜集的数据。
时间序列数据(time series data)，用下标t来表示，这是一个时期内收集的数据。

---

## 两套体系

李子奈的k元回归：

`$$\begin{align}
Y_i &=  \beta_0 +\beta_1X_{i1} +\beta_2X_{i2} + \cdots +\beta_kX_{ik}+ u_i 
\end{align}$$`

古扎拉蒂的k变量回归：

`$$\begin{align}
Y_i &=  \beta_1 +\beta_2X_{2i} +\beta_3X_{3i} + \cdots +\beta_kX_{ki}+ u_i
\end{align}$$`

---
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name: data

# 2.3 数据的类型和性质

---
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<div class="my-header-h2"></div>
<div class="watermark1"></div>
<div class="watermark2"></div>
<div class="watermark3"></div>

<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a>  
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&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#data"> 2.3 数据的类型和性质 </a></span></div>

---

## Type1：时间序列数据(time series data)

时间序列数据：对一个变量在不同时间取值的一组观测结果。

- 实时牌价：如股票价格

- 每日(daily）：如天气预报

- 每周(weekly）：如货币供给数字

- 每月(monthly）：如失业率和消费者价格指数

- 每季度(quarterly）：如GDP

- 每年(annually）：如政府预算

- 每5 年(quinquennially）：如制造业普查资料

- 每10 年( decennially）：如人口普查资料

---

## Type1：时间序列数据(time series data)：

平稳性(stationary)：如果一个时间序列的均值和方差不随时间而系统地变化，那它就是平稳的(stationary) 。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-data-series-M1.png" alt="1951年1月-1999年9月美国的M1货币供给" width="529" />
<p class="caption">1951年1月-1999年9月美国的M1货币供给</p>
</div>

---

## Type2：截面数据(cross-section data)

横截面数据：对一个或多个变量在同一时间点上收集的数据

异质性(heterogeneity) ：当我们的统计分析包含有异质的单位时，我们必须考虑尺度(size)或规模效应(scale effect) 以避免造成混乱。

---

### 案例：鸡蛋价格与鸡蛋产量

<div id="htmlwidget-2a493aca1a87c52598d6" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-2a493aca1a87c52598d6">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>美国50个州的蛋类生产和价格数据<\/caption>","fillContainer":false,"data":[["1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28","29","30","31","32","33","34","35","36","37","38","39","40","41","42","43","44","45","46","47","48","49","50"],["AL","AK","AZ","AR","CA","CO","CT","DE","FL","GA","HI","ID","IL","IN","IA","KS","KY","LA","ME","MD","MA","MI","MN","MS","MO","MT","NE","NV","NH","NJ","NM","NY","NC","ND","OH","OK","OR","PA","RI","SC","SD","TN","TX","UT","VT","VA","WA","WV","WI","WY"],[2206,0.7,73,3620,7472,788,1029,168,2568,4302,227.5,187,793,5445,2151,404,412,273,1069,885,235,1406,2499,1434,1580,172,1202,2.2,43,442,283,975,3033,51,4667,869,652,4976,53,1422,435,277,3317,456,31,934,1287,136,910,1.7],[92.7,151,61,86.3,63.4,77.8,106,117,62,80.6,85,79.1,65,62.7,56.5,54.5,67.7,115,101,76.6,105,58,57.7,87.8,55.4,68,50.3,53.9,109,85,74,68.1,82.8,55.2,59.1,101,77,61,102,70.1,48,71,76.7,64,106,86.3,74.1,104,60.1,83]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>STATE<\/th>\n      <th>Y1<\/th>\n      <th>X1<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":5,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[5,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

美国50个州的蛋类生产和价格数据，其中：

- 
`$Y_1$`代表1990年鸡蛋产量(百万个)；

- 
`$X_1$`代表1990年每打鸡蛋的价格(美分/打)。

---

### 案例：鸡蛋价格与鸡蛋产量

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="02-simple-reg-basic-slide_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" alt="1990年蛋产量与价格的关系"  />
<p class="caption">1990年蛋产量与价格的关系</p>
</div>

思考提问：图中特征符合经济学理论么？图中反映了数据可能存在哪些潜在问题？

---

## Type3：面板数据(Panel Data)

面板数据：是兼有时间序列和横截面数据两种成份，指对相同的横截面单元在时间轴上进行跟踪调查的数据。

- 平衡面板(balanced panel)：所有截面单元都具有相同的观测次数

- 非平衡面板(unbalanced panel)：并非所有截面单元都具有相同的观测次数

数据点（观测数）
`$n$`：

- 数据点（观测数）=截面单元数时期数
`$n=q*t$`

可能存在的问题：

- “平稳性”问题：

- “异方差”问题：

---

### 案例：钢铁公司

两家钢铁公式的数据案例：

- 公司：GE=通用公司；US=美国钢铁

- I=真实总投资（百万美元）

- F=前一年的企业真实价值 （百万美元）

- C=前一年的真实资本存量（百万美元）

---

### 案例：钢铁公司

扁数据形式：

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<script type="application/json" data-for="htmlwidget-d1939a57fd172755b9bf">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>1935-1954年间美国两大钢铁公司的数据(扁数据)<\/caption>","data":[["1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20"],[1935,1936,1937,1938,1939,1940,1941,1942,1943,1944,1945,1946,1947,1948,1949,1950,1951,1952,1953,1954],[97.8,104.4,118,156.2,172.6,186.6,220.9,287.8,319.9,321.3,319.6,346,456.4,543.4,618.3,647.4,671.3,726.1,800.3,888.9],[1170.6,2015.8,2803.3,2039.7,2256.2,2132.2,1834.1,1588,1749.4,1687.2,2007.7,2208.3,1656.7,1604.4,1431.8,1610.5,1819.4,2079.7,2371.6,2759.9],[33.1,45,77.2,44.6,48.1,74.4,113,91.9,61.3,56.8,93.6,159.9,147.2,146.3,98.3,93.5,135.2,157.3,179.5,189.6],[53.8,50.5,118.1,260.2,312.7,254.2,261.4,298.7,301.8,279.1,213.8,232.6,264.8,306.9,351.1,357.8,341.1,444.2,623.6,669.7],[1362.4,1807.1,2673.3,1801.9,1957.3,2202.9,2380.5,2168.6,1985.1,1813.9,1850.2,2067.7,1796.7,1625.8,1667,1677.4,2289.5,2159.4,2031.3,2115.5],[209.9,355.3,469.9,262.3,230.4,361.6,472.8,445.6,361.6,288.2,258.7,420.3,420.5,494.5,405.1,418.8,588.2,645.2,641,459.3]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>year<\/th>\n      <th>GE.C<\/th>\n      <th>GE.F<\/th>\n      <th>GE.I<\/th>\n      <th>US.C<\/th>\n      <th>US.F<\/th>\n      <th>US.I<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":8,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[8,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---

### 案例：钢铁公司

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="02-simple-reg-basic-slide_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png" alt="两家公司的企业投资情况"  />
<p class="caption">两家公司的企业投资情况</p>
</div>

---

### 案例：钢铁公司

长数据形式：

<div id="htmlwidget-29227ecdfe20c66171e0" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-29227ecdfe20c66171e0">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>1935-1954年间美国两大钢铁公司的数据(长数据)<\/caption>","data":[["1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28","29","30","31","32","33","34","35","36","37","38","39","40"],[1935,1936,1937,1938,1939,1940,1941,1942,1943,1944,1945,1946,1947,1948,1949,1950,1951,1952,1953,1954,1935,1936,1937,1938,1939,1940,1941,1942,1943,1944,1945,1946,1947,1948,1949,1950,1951,1952,1953,1954],["GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","GE","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US","US"],[33.1,45,77.2,44.6,48.1,74.4,113,91.9,61.3,56.8,93.6,159.9,147.2,146.3,98.3,93.5,135.2,157.3,179.5,189.6,209.9,355.3,469.9,262.3,230.4,361.6,472.8,445.6,361.6,288.2,258.7,420.3,420.5,494.5,405.1,418.8,588.2,645.2,641,459.3],[1170.6,2015.8,2803.3,2039.7,2256.2,2132.2,1834.1,1588,1749.4,1687.2,2007.7,2208.3,1656.7,1604.4,1431.8,1610.5,1819.4,2079.7,2371.6,2759.9,1362.4,1807.1,2673.3,1801.9,1957.3,2202.9,2380.5,2168.6,1985.1,1813.9,1850.2,2067.7,1796.7,1625.8,1667,1677.4,2289.5,2159.4,2031.3,2115.5],[97.8,104.4,118,156.2,172.6,186.6,220.9,287.8,319.9,321.3,319.6,346,456.4,543.4,618.3,647.4,671.3,726.1,800.3,888.9,53.8,50.5,118.1,260.2,312.7,254.2,261.4,298.7,301.8,279.1,213.8,232.6,264.8,306.9,351.1,357.8,341.1,444.2,623.6,669.7]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>year<\/th>\n      <th>company<\/th>\n      <th>I<\/th>\n      <th>F<\/th>\n      <th>C<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":7,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[7,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---

### 案例：钢铁公司

缺失部分数据：

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<script type="application/json" data-for="htmlwidget-8f6d13febb3ecde0162f">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>1935-1954年间美国两大钢铁公司的数据(缺失部分数据)<\/caption>","data":[["1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20"],[1935,1936,1937,1938,1939,1940,1941,1942,1943,1944,1945,1946,1947,1948,1949,1950,1951,1952,1953,1954],[97.8,104.4,118,156.2,172.6,186.6,220.9,287.8,319.9,321.3,319.6,346,456.4,543.4,618.3,647.4,671.3,726.1,800.3,888.9],[1170.6,2015.8,2803.3,2039.7,2256.2,2132.2,1834.1,1588,1749.4,1687.2,2007.7,2208.3,1656.7,1604.4,1431.8,1610.5,1819.4,2079.7,2371.6,2759.9],[33.1,45,77.2,44.6,48.1,74.4,113,91.9,61.3,56.8,93.6,159.9,147.2,146.3,98.3,93.5,135.2,157.3,179.5,189.6],[53.8,50.5,118.1,260.2,312.7,null,261.4,298.7,301.8,279.1,213.8,232.6,264.8,306.9,351.1,357.8,341.1,444.2,null,669.7],[1362.4,1807.1,2673.3,1801.9,1957.3,null,2380.5,2168.6,1985.1,1813.9,1850.2,2067.7,1796.7,1625.8,1667,1677.4,2289.5,2159.4,null,2115.5],[209.9,355.3,469.9,262.3,230.4,null,472.8,445.6,361.6,288.2,258.7,420.3,420.5,494.5,405.1,418.8,588.2,645.2,null,459.3]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>year<\/th>\n      <th>GE.C<\/th>\n      <th>GE.F<\/th>\n      <th>GE.I<\/th>\n      <th>US.C<\/th>\n      <th>US.F<\/th>\n      <th>US.I<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":7,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[7,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

课堂测试：问1：平衡面板还是非平衡面板？问2：多少数据点？

???
- 问3：两个公司投资函数是否相同？

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## 数据的性质和层次

数据不是“平等”的，也有“三六九等”：

- 名义尺度(nominal scale)

- 序数尺度(ordinal scale)

- 区间尺度( interval scale)

- 比率尺度(ratio scale)

---

### 名义尺度(nominal scale)

名义尺度变量只表示不同的类别，它不能加减乘除，也不能比较大小。

- 如性别(男、女）和婚姻状况（已婚、未婚、离婚、分居）之类的变量。

---

### 序数尺度(ordinal scale)

名义尺度变量只能比较大小(即自然顺序)，不能加减乘除。

- 五分量表

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-data-scale-order1.png" alt="李克特量表" width="613" />
<p class="caption">李克特量表</p>
</div>

---

### 序数尺度(ordinal scale)

- 无差异曲线

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-data-scale-order-curve.png" alt="两种商品消费下的无差异曲线" width="499" />
<p class="caption">两种商品消费下的无差异曲线</p>
</div>

---

### 区间尺度( interval scale)

区间尺度变量比率尺度变量可以比较大小，也能加减，但不能乘除。

- 两个时期之内的距离(如2000 – 1995)是有意义的，但两个时期的比率(2000/1995) 就没有什么意义。

- 2013年8 月11 日上午11点天气预报说杨凌的温度是华氏60度，而长沙达到华氏90度。说长沙比杨凌暖和50%没有意义，所以，温度不是比例尺度。这主要是因为华氏温标不是以0度作为起点所致。

---

### 比率尺度(ratio scale)：

比率尺度变量可以比较大小，也能加减乘除。

- 对于一个变量X，取其两个值
`$X_1$`和
`$X_2$`，比率
`$X_1/X_2$`和距离
`$(X_2-X_1)$`都是有意义的量。

- 此外，这些值在这种尺度下存在着一种自然顺序（上升或下降) (性质3) 。因此如
`$X_2≤X_1$`或
`$X_2≥X_1$`之类的比较也是有意义的。

- 如：GDP(亿元)、个人收入(元)等

---
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name: micro-world

# 2.4 一个假想的微型世界

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<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a>
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<a href="#micro-world"> 2.4 一个假想的微型世界 </a></span></div>

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## 60个家庭的微型总体数据

直观列表：

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-60families-pop.png" alt="60个家庭的收入和支出情况：假设的总体" width="754" />
<p class="caption">60个家庭的收入和支出情况：假设的总体</p>
</div>

???
提问：

- 总体是什么？

- 有多少总体单位？

---

## 60个家庭的微型总体数据

扁数据形态：“非标准”数据形态（但很直观）

<div id="htmlwidget-73f4f9ff7e9e4ad46a04" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-73f4f9ff7e9e4ad46a04">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>60个家庭的收入和支出情况：假设的总体<\/caption>","data":[["1","2","3","4","5","6","7","8"],["X","Y1","Y2","Y3","Y4","Y5","Y6","Y7"],[80,55,60,65,70,75,null,null],[100,65,70,74,80,85,88,null],[120,79,84,90,94,98,null,null],[140,80,93,95,103,108,113,115],[160,102,107,110,116,118,125,null],[180,110,115,120,130,135,140,null],[200,120,136,140,144,145,null,null],[220,135,137,140,152,157,160,162],[240,137,145,155,165,175,189,null],[260,150,152,175,178,180,185,191]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>Mark<\/th>\n      <th>G1<\/th>\n      <th>G2<\/th>\n      <th>G3<\/th>\n      <th>G4<\/th>\n      <th>G5<\/th>\n      <th>G6<\/th>\n      <th>G7<\/th>\n      <th>G8<\/th>\n      <th>G9<\/th>\n      <th>G10<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":9,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[9,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

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## 60个家庭的微型总体数据

长数据形态：标准数据形态（但不直观）

<div id="htmlwidget-cf8a9a7367604534ab0c" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-cf8a9a7367604534ab0c">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"caption":"<caption>60个家庭的收入和支出情况：假设的总体<\/caption>","data":[["1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28","29","30","31","32","33","34","35","36","37","38","39","40","41","42","43","44","45","46","47","48","49","50","51","52","53","54","55","56","57","58","59","60"],[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60],[1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10],[80,80,80,80,80,100,100,100,100,100,100,120,120,120,120,120,140,140,140,140,140,140,140,160,160,160,160,160,160,180,180,180,180,180,180,200,200,200,200,200,220,220,220,220,220,220,220,240,240,240,240,240,240,260,260,260,260,260,260,260],[55,60,65,70,75,65,70,74,80,85,88,79,84,90,94,98,80,93,95,103,108,113,115,102,107,110,116,118,125,110,115,120,130,135,140,120,136,140,144,145,135,137,140,152,157,160,162,137,145,155,165,175,189,150,152,175,178,180,185,191]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>id<\/th>\n      <th>group<\/th>\n      <th>X<\/th>\n      <th>Y<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tip","columnDefs":[{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":7,"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[7,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---
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name: concepts

# 2.5 一些重要概念

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<div class="my-header-h2"></div>
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a>
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<a href="#concepts"> 2.5 一些重要概念 </a></span></div>

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## 无条件概率和无条件期望

**无条件概率**：

- 定义：不受
`$X_i$`变量取值影响下，
`$Y_i$`出现的可能性。

- 记号：离散变量
`$P(Y_i)$`；连续变量
`$g(Y)$`

**无条件期望**：

- 定义：不受
`$X_i$`变量取值影响下，变量
`$Y_i$`的期望值。

- 记号：
`$g(Y_i)$`表示连续变量的概率密度函数（cdf）

`$$\begin{align}
E(Y) &= \sum_1^N{Y_i \cdot P(Y_i)} &&\text{(discrete vars)} \\
E(Y) &= \int{Y_i \cdot g(Y_i)dY} &&\text{(continue vars)} 
\end{align}$$`

---

### 无条件概率和无条件期望的示例计算

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-60fams-unconditional-mean.png" alt="无条件概率和无条件期望" width="837" />
<p class="caption">无条件概率和无条件期望</p>
</div>

---

### 无条件期望的计算过程

`$$\begin{align}
E(Y) &= \sum_1^N{Y_i \cdot P(Y_i)} \\
     &= \sum_1^{60}\left( 55*\frac{1}{60} + 60*\frac{1}{60} + \cdots + 191*\frac{1}{60} \right) \\
     &=\frac{1}{60}\sum_1^{60}Y_i\\
     &=\frac{7272}{60}\\
     &=121.2
\end{align}$$`

---

## 条件概率和条件期望

**条件概率**：

- 定义：给定变量
`$X_i$`的取值条件下，
`$Y_i$`出现的可能性。

- 记号：离散变量
`$P(Y_i|X_i)$`；连续变量
`$g(Y|X)$`

**条件期望**：

- 在给定变量
`$X_i$`的取值条件下，
`$Y_i$`的期望值。

- 记号：
`$g(Y|X)$`表示连续变量的条件概率密度函数（cdf）

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) &= \sum_1^N{(Y_i|X_i) \cdot P(Y_i|X_i)} &&\text{(discrete vars)} \\
E(Y|X_i) &= \int{(Y|X) \cdot g(Y|X)dY} &&\text{(continue vars)} \end{align}$$`

---

### 条件概率和条件期望的示例计算

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt2-1-60fams-conditional-mean.png" alt="条件概率和条件期望" width="838" />
<p class="caption">条件概率和条件期望</p>
</div>

---

### 条件期望的计算过程

`$$\begin{align}
E(Y|80) &= \sum_1^N{Y_i \cdot P(Y_i|X=80)} \\
     &= \sum_1^{5}\left( 55*\frac{1}{5} + 60*\frac{1}{5} + \cdots + 75*\frac{1}{5} \right) \\
     &=\frac{1}{5}\sum_1^{5}Y_i\\
     &=\frac{325}{5}\\
     &=65
\end{align}$$`

---

### 假想总体的全部数据展示

---

### 给定不同X水平下Y条件期望值

---

### 给定不同X水平下Y条件期望值

给定
`$X=120$`水平下
`$Y$`条件期望值
`$E(Y|X_i=120)$`= 89

---

### X均值和Y的无条件期望值

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="02-simple-reg-basic-slide_files/figure-html/unnamed-chunk-30-1.png" alt="X均值和Y的无条件期望值"  />
<p class="caption">X均值和Y的无条件期望值</p>
</div>

X的均值
`$\bar{X}$`
=173.67和Y的无条件期望值
`$E(Y)=$`
121.20

---
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name: population

# 2.6 总体回归

总体回归线

总体回归函数

总体回归模型

随机干扰项

---
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<div class="my-header-h2"></div>
<div class="watermark1"></div>
<div class="watermark2"></div>
<div class="watermark3"></div>

<div class="my-footer"><span>huhuaping@   <a href="#chapter02">第02章 一元回归的基本思想</a> 
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<a href="#population"> 2.6 总体回归 </a></span></div>

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## 总体回归线（PRL）

- 几何：给定X值时Y的条件期望值的轨迹。

- 统计：实质上就是Y对X的回归。

总体回归曲线(Population Regression Curve，PRC)：条件期望值的轨迹表现为一条曲线(Curve)。

总体回归线(Population Regression Line，PRL)：条件期望值的轨迹表现为一条直线(Line)。

---

## 总体回归线（PRL）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="02-simple-reg-basic-slide_files/figure-html/unnamed-chunk-31-1.png" alt="总体回归线PRL"  />
<p class="caption">总体回归线PRL</p>
</div>

---

## 总体回归函数（PRF）

总体回归函数（Population Regression Function，PRF）：它是对总体回归曲线(PRC)的数学函数表现形式。

如果不知道总体回归曲线的具体形式，则总体回归函数PRF表达为如下隐函数形式（PRF）：

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) & = f(X_i)  && \text{(PRF)}
\end{align}$$`

如果总体回归曲线是直线形式，则总体回归函数PRF表达为如下显函数形式（PRF_L）：

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) &= \beta_1 +\beta_2X_i && \text{(PRF_L)}
\end{align}$$`

- `$\beta_1,\beta_2$`分别称为截距(intercept)和斜率系数(slope coefficient)。

- `$\beta_1,\beta_2$`称为总体参数或回归系数(regression coefficients)。

- `$\beta_1,\beta_2$`为未知但却是固定的参数。

---

## 总体回归函数（PRF）

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="02-simple-reg-basic-slide_files/figure-html/unnamed-chunk-32-1.png" alt="总体回归线PRL与总体回归函数PRF"  />
<p class="caption">总体回归线PRL与总体回归函数PRF</p>
</div>

---

## 总体回归模型（PRM）

**总体回归模型**（Population Regression model, PRM）：把总体回归函数表达成**随机设定**形式。

如果总体回归函数为隐函数，则**总体回归模型**记为：

`$$\begin{align}
Y_i &=  E(Y|X_i) + u_i \\
    &=  f(X_i) +u_i
\end{align}$$`

如果总体回归函数为线性函数，则**总体回归模型**记为：

`$$\begin{align}
Y_i &=  E(Y|X_i) + u_i \\
    &= \beta_1 +\beta_2X_i + u_i
\end{align}$$`

- 总体回归模型（PRM）属于**计量经济学模型**，而总体回归函数（PRF）是**数量经济学模型**（或数学模型）。

- 总体回归模型（PRM）能充分表达的是现实世界中
`$Y_i$`变量的行为特征。

---

## 随机干扰项

总体回归模型（PRM）设定下，
`$Y_i$`将由两个部分组成。

- 特定家庭的支出（
`$Y_i$`） = 系统性部分（
`$E(Y|X_i)$` + 随机部分（
`$u_i$`）

- 特定家庭的支出（
`$Y_i$`） = 系统性部分（
`$\beta_1+\beta_2X_i$`） + 随机部分（
`$u_i$`）

**随机干扰项**：

- 也被称为随机误差项(stochastic error term)：总体回归函数中忽略掉的但又影响着Y的全部变量的替代物，它是
`$Y_i$`与条件期望（
`$E(Y|X_i)$`）的离差。

`$$\begin{align}
u_i &= Y_i - E(Y|X_i) 
\end{align}$$`

---

## 随机干扰项

随机干扰项的来源：

- 理论的含糊：除了主变量之外，还有其它变量的影响，但不清楚，只能用𝜇_𝑖代替它们。（家庭收入以外？）

- 数据的不充分：可能知道被忽略的变量，但不能得到这些变量的数量信息。（如家庭财富数据不可得）

- 核心变量与其它变量：其它变量全部或其中一些合起来影响还是很小的。（如子女、教育、性别、宗教等）

- 人类行为的内在随机性。（客观存在、固有的）

- 变量被“移花接木”而产生测量误差（如弗里德曼的持久收入和消费）

- 节省原则：为了保持一个尽可能简单的回归模型

- 错误的函数形式：有时根据数据及经验无法确定一个正确的函数形式 （多元回归尤其如此）

---

## 随机干扰项

.pull-left[
为何是“随机的”？

- 测不准？（误差）

- 测错了？（误导）

- 免不了!（内在性）

]

.pull-right[

拥抱随机世界

- 风筝：
`$Y_i$`

- 风筝线：
`$E(Y|X_i)$`

- 风：
`$u_i$`

]

---

## 理解PRM和PRF的关系

.pull-left[
若给定一个特定家庭
`$(X_i=120, Y_i=79)$`。
]

.pull-right[
给定条件下，条件期望为
`$E(Y|120)=89$`
]

---

## 理解PRM和PRF的关系

若给定
`$X_i=$` 120 ，则5个家庭的真实消费支出分别为：

`$$\begin{align}
(Y_1|X=120) = 79 &= \beta_1 + \beta_2 \cdot 120 +u_1\\
(Y_2|X=120) = 84 &= \beta_1 + \beta_2 \cdot 120 +u_2\\
(Y_3|X=120) = 90 &= \beta_1 + \beta_2 \cdot 120 +u_3\\
(Y_4|X=120) = 94 &= \beta_1 + \beta_2 \cdot 120 +u_4\\
(Y_5|X=120) = 98 &= \beta_1 + \beta_2 \cdot 120 +u_5
\end{align}$$`

---

## 理解PRM和PRF的关系

主要结论：

- 总体期望刻画总体的“趋势”，总体回归线让“趋势”直观化。

- 个体随机性是不可避免的，总会“游离”于“趋势”之外。

- 随机干扰项
`$u_i$`携带了随机个体的“游离”信息。

- 总体回归模型既“提取”了趋势和规律性，又“维系”着个体随机性，从而更好地表达了“真实世界”。

课后思考：

- 如果是无限总体，总体的规律性在理论上也是可以被严格表达出来么？

- 如果不告诉你总体，你怎么知道“触碰”到的是“真实的”趋势/规律？

- 从假想的60个家庭的微型总体中，“随便”抽取10个家庭的数据，你还能看到“直线”趋势么？

---

## “线性回归模型”中“线性”一词的含义

- **变量“线性”模型**：因变量对于自变量是线性的。

- **参数“线性”模型**：因变量对于参数是线性的。

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### 测试题

下列模型分别属于哪一类？请指出来：

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2 X_i +u_i && \text{(mod1)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2 X_i + \beta_3 X_i^2 +u_i && \text{(mod2)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2 X_i + \beta_3 X_i^2 + \beta_4 X_i^3 +u_i && \text{(mod3)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2 \frac{1}{X_i} +u_i && \text{(mod4)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2 ln(X_i) +u_i && \text{(mod5)} \\
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
ln(Y_i) &= \beta_1 + \beta_2 X_i +u_i && \text{(mod6)}
\end{align}$$`

---

### 测试题

下列模型分别属于哪一类？请指出来：

`$$\begin{align}
ln(Y_i) &= \beta_1 - \beta_2 \frac{1}{X_i} +u_i && \text{(mod7)} 
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
ln(Y_i) &= ln(\beta_1) + \beta_2 ln(X_i) +u_i && \text{(mod8)} 
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \frac{1}{1+e^{(\beta_1 + \beta_2 X_{2i}  +u_i) }} && \text{(mod9)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 +(0.75-\beta_1)e^{-\beta_2(X_i-2)} +u_i && \text{(mod10)}
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
Y_i &= \beta_1 + \beta_2^3 X_i +u_i && \text{(mod11)} 
\end{align}$$`

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# 2.7 样本回归

样本回归线

样本回归函数

样本回归模型

残差

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<a href="#sample">2.7 样本回归 </a></span></div>

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## 样本回归线(SRL)

**样本(Sample)**：

- 从总体中随机抽取得到的数据。

**样本回归线**(Sample Regression Line，SRL)：

- 是通过拟合**样本数据**得到的一条曲线（或直线）。换言之，这条线由拟合值
`$\hat{Y}_i$`连接而成。

- 
`$\hat{Y}_i$`是对条件期望值
`$Y|X_i$`的拟合。

- 拟合方法有很多，例如采用OLS方法对样本数据进行拟合。

- 尽可能拟合数据
    - 用什么方法拟合？
    - 曲线是什么形态？

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## 样本回归函数(SRF)

**样本回归函数**(Sample Regression Function，SRF)：是样本回归曲线的数学函数形式，可以是线性的或非线性。如果是直线则可以写成：

`$$\begin{align}
\hat{Y}_i =\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i
\end{align}$$`

对比总体回归函数（PRF）：

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) =\beta_1 + \beta_2X_i
\end{align}$$`

可以认为：

- 
`$\hat{Y}_i$`是对
`$E(Y|X_i)$`的估计量。

- 
`$\hat{\beta}_1$`是对
`$\beta_1$`的估计量。

- 
`$\hat{\beta}_2$`是对
`$\beta_2$`的估计量。

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### 第一份随机样本：抽样

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### 第一份随机样本：数据

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### 第一份随机样本：SRL

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### 第一份随机样本：SRF

根据第一份随机样本拟合得到的**样本回归函数**SRF：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+13.38&&+0.64X\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

样本数据如下：

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### 第二份随机样本：抽样

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### 第二份随机样本：数据

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### 第二份随机样本：SRL

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### 第二份随机样本：SRF

根据第二份随机样本拟合得到的**样本回归函数**SRF：

`$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+14.59&&+0.61X\\ \end{alignedat} \end{equation}$$`

样本数据如下：

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### 两份样本同时出现：比较分析

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## 样本回归模型（SRM）

样本回归模型（Sample Regression Model，SRM）：把样本回归函数表现为**“随机”**形式。

- 如果样本回归函数为隐函数，则样本回归模型可记为：

`$$\begin{align}
Y_i &= g(X_i) +e_i 
\end{align}$$`

- 如果样本回归函数表现为直线，则样本回归模型可记为：

`$$\begin{align}
Y_i &= \hat{\beta}_1 +\hat{\beta}_2X_i +e_i && \text{(SRM_L)}
\end{align}$$`

其中，
`$e_i$`表示残差（Residual）

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## 残差

残差（Residual）：

- 定义：是样本回归函数与Y的样本观测值之间的离差。

- 记号：

`$$\begin{align}
e_i  &= Y_i - \hat{Y}_i \\
     &= Y_i - (\hat{\beta}_1 +\hat{\beta}_2X_i) 
\end{align}$$`

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## 理解SRF和SRM的关系

给定
`$x_i=$` 240，样本2的观测值
`$Y_i=$` 240。
给定
`$x_i=$` 240，样本2的拟合值
`$\hat{Y}_i=$` 161.6。

残差
`$e_i=Y_i- \hat{Y}_i=$` -6.6。

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## 样本回归与总体回归的比较

为何不同？继承性和变异性

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## 样本回归与总体回归的比较

.pull-left[
总体回归函数PRF:

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) &= \beta_1 +\beta_2X_i && \text{(PRF)}
\end{align}$$`

总体回归模型PRM:

`$$\begin{align}
Y_i &=  \beta_1 +\beta_2X_i + u_i && \text{(PRM)}
\end{align}$$`

]

.pull-right[
样本回归函数SRF:

`$$\begin{align}
\hat{Y}_i =\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i && \text{(SRF)}
\end{align}$$`

样本回归模型SRM:

`$$\begin{align}
Y_i &= \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i +e_i && \text{(SRM)}
\end{align}$$`

]

思考：

- PRF无法直接观测，只能用SRF近似替代

- 估计值与观测值之间存在偏差

- SRF又是怎样决定的呢?

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## 样本回归与总体回归的比较

知识点总结：

- 随机抽样数据继承了总体的特征。

- 利用随机样本进行数据拟合是对总体规律的“反向追踪”。

- 样本回归模型中的残差是拟合不完全的产物。

课后思考：

- 怎样来判定对随机样本的一次数据拟合是更优的？

- 存不存在一种“最优”的拟合方法？

课后作业：

- 请把162名同学的拟合线进行平均化处理（截距和斜率取均值），绘制得到一条“回归线”。

- 你认为是这根平均化的“回归线”与真相更逼近么？

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# 本章结束