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exclude: FALSE

# 数据、模型与决策</br></br>(Data, Model and Decision)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2022-04-29

<div>
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---
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# 第10章 库存模型

#### [10.1 经济订货批量模型(EOQ)](#eoq)

#### [10.2 经济生产批量模型](#lot-size)

#### [10.3 有计划缺货时的库存模型](#shortage)

#### [10.4 EOQ模型的数量折扣](#discount)

#### [10.5 概率需求下的单阶段库存模型](#single)

#### [10.6 概率需求下的订货数量——再订货点模型](#reorder)

#### [10.7 概率需求下的定期检查模型](#review)

---
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name: eoq

# 10.1节 经济订货批量模型(EOQ)

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter10"> 第10章 库存模型</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#eoq">10.1节 经济订货批量模型(EOQ)</a> </span></div>

---

## 引言

.fyi[

**思考**：

- 库存是指一个企业为满足日后所需储存起来的闲置货物或物料。

- 库存是对不确定性及波动因素的一个缓冲，通过持有可得物料，以备企业及客户所需。

- 涉及库存的问题中，管理者要回答以下问题：

- （1）库存补货的订货量是多少？
  
  - （2）何时进行库存补货？

]

---

## 经济订货批量(EOQ)模型：应用情景

经济订货量模型适用于需求率不变或近似产品不变，并且要求库存的总订货量在一个时间点到达。

- 不变需求率假设：每段时间从库存中提取相同数量的货物。

- 持有成本:维持或持有一定库存水平所需耗费的相关成本。

- 订货成本:订购或组织生产的固定成本

- 缺货成本:缺货带来的损失,含信誉成本

---

### R&B公司案例：背景

.case[

**案例背景**：

- R&B公司中央仓库位于俄亥俄州哥伦布市，向近1000家零售商供应饮料产品。

- 其中，啤酒的平均库存大约5000箱，占公司总库存40%。

- 在每箱啤酒的库存成本大约为8美元的情况下，R&B估计其啤酒库存成本达400000美元。

- 仓库经理要做出关于订货批量和订货时间的决定，以尽可能降低总成本。

]

---

### R&B公司案例：需求数据

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>R&amp;B公司10周的啤酒需求数据</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 周次 </th>
   <th style="text-align:center;"> 啤酒需求(箱) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2025 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1950 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2100 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2050 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 7 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1975 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1900 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;background-color: orange !important;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: orange !important;"> 20000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

- 啤酒总数为20000箱，平均2000箱/周

---

### R&B公司案例：问题描述

假定需求率不变，做出每周2000的库存计划。

.fyi[

确定订货数量需要权衡一下两点：

- （1）持有少量库存，但订货频率高。这会导致较高的的订货成本。

- （2）持有大量库存，但订货频率低。这会导致较高的库存成本。

]

为了在上述两个相互矛盾的选择中寻找一个合理的折中，引进EOQ模型。

---

### R&B公司案例：存货持有成本

**持有成本**（holding cost）：是指维持或持有一定库存水平所需耗费的相关成本。包括：

- 对库存物品进行投资的融资成本，以及占用资金的机会成本等。

> **资金成本率**（cost of capital）通常用投资数量的百分比来表示。R&B公司估计其资金成本率为每年18%。

- 库存物品相关的保险、税金、损坏、盗窃以及仓储费用等。

> 例如，R&B公司估计这些成本每年占其库存价值的7%。

根据上述信息，假定R&B公司啤酒库存总持有成本水平为
`$18\%+7\%=25\%$`。

- R&B公司的一种Bub啤酒，每箱Bub啤酒的价值为8美元

- 那么R&B公司每存货1箱Bub啤酒，产生的持有成本将是
`$8 \times 25\% =2$`美元/箱。

---

### R&B公司案例：订货成本

**订货成本**（ordering cost）：包括订单的准备及订单的处理（支付、邮寄、电话费、运输、发票确认、接受等）成本。

- 可以暂时假定一种简单的情形：订货成本与订单大小无关

> 例如，R&B公司需要的订货成本为32美元/每份订单，而无论订单上的订货数量是多少。

---

### R&B公司案例：需要准备

.notes[

应用EOQ模型之前需要准备的三项数据包括：

- 持有成本

- 订货成本

- 需求量Q

]

---

### R&B公司案例：Bub啤酒品类的库存

当从供应商那里得到的订单规模大小为Q时：

- Bub啤酒的库存最多将会持有Q单位。

- Rub啤酒将会从库存中发货以满足顾客需求，直到库存耗尽。

---

### R&B公司案例：Bub啤酒品类的库存模式

随着时间的推移，上述模式会反复循环，完整的库存模式如下图。

- 那么年平均库存为
`$\frac{Q}{2}$`

---

### R&B公司案例：相关变量定义（订货成本）

.pull-left[

- 
`$D$`为产品年需求量。

- 
`$Q$`：订货批量（最大库存）

- 年订单次数（采用等量订货）
`$\frac{D}{Q}$`

- 
`$C_o$`：一次订货成本（与订货量无关）

- 年订货成本：
`$\frac{D}{Q}\times C_0$`

]

.pull-right[

]

---------

.case[

给定Bub啤酒：

- 年需求量为
`$D=52\times 2000 = 104000$`（箱/年）

- 假定每次的订货数量都为
`$Q$`，那么每年订单数量为
`$D/Q=\frac{104000}{Q}$`

- 假定一次订货成本与订货量无关，则一次订货成本为
`$C_o = 32$`美元

- 年订货成本为
`$\frac{D}{Q}\times C_0= \frac{104000}{Q}\times 32$`

]

.footnote[
**注意**：这里做了关于订货批量和单次订货成本的两个潜在假设！

]

---

### R&B公司案例：相关变量定义（年持有成本）

.pull-left[

- 年平均库存：
`$Q/2$`单位

- 
`$C$`：库存产品的单位成本

- 
`$I$`：年持有成本率

- 
`$C_h = C \times I$`：单位库存的年持有成本

]

.pull-right[

- 年持有成本=平均库存
`$\times$` 单位库存的年持有成本

`$$=\frac{Q}{2}\times C_h = \frac{Q}{2} \times C\times I$$`

]

---------

.case[

给定Bub啤酒：

- 年平均库存
`$Q/2$`单位

- 库存产品的单位成本
`$C =8$`（美元/箱）

- 库存的年持有成本率
`$I=17\%+8\%=25\%$`

- 单位库存的年持有成本是
`$C_h = C \times I =8 \times 25\% =2$`美元/箱

- 年持有成本
`$=\frac{Q}{2}\times C_h = \frac{Q}{2} \times C\times I= \frac{Q}{2}\times 2 = Q$`

]

.footnote[

**注意**：如何正确理解**平均库存**的概念？

]

---

### R&B公司案例：相关变量定义（年度总成本）

**年度总成本TC**
`$=$`年订货成本
`$+$` 年持有成本，也即：

$$TC =\left(\frac{D}{Q} \times C_0 \right) + \left(\frac{1}{2}Q \times C_h\right) $$

---------

.case[

给定Bub啤酒的前述存货信息，可以得出总年度成本模型为：

`$$\begin{align}
TC &= \left(\frac{D}{Q} \times C \right) +\left(\frac{1}{2}Q \times C_h\right)  \\
&= \left(\frac{104000}{Q} \times 32 \right)  +\left(\frac{1}{2}Q \times 2\right) \\
&= \frac{3328000}{Q} + Q
\end{align}$$`

]

---

### R&B公司案例：相关变量定义（年度总成本）

**年度总成本TC**
`$=$`年订货成本
`$+$` 年持有成本，也即：

$$TC =\left(\frac{D}{Q} \times C_0 \right) + \left(\frac{1}{2}Q \times C_h\right) $$

---------

.case[

假设Bub啤酒的订货数量
`$Q=5000$`，则总年度成本为5666美元：

]

---
exclude: true

## R chunk：最优订货量及成本

---

### R&B公司案例：可能订货数量及相关成本试算

下面我们针对Bub啤酒集中可能的订货数量Q（5000; 4000; 3000; 2000; 1000），对订货成本、年度持有成本和年度总成本进行测算：

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Bub啤酒的集中可能订货数量Q和总成本</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 年需求量D </th>
   <th style="text-align:center;"> 订货批量Q </th>
   <th style="text-align:center;"> 订单次数$D/Q$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 单次订货成本$C_o$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 总订货成本 </th>
   <th style="text-align:center;"> 平均库存$Q/2$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位库存价值C </th>
   <th style="text-align:center;"> 库存持有成本率I </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位库存持有成本$C_h$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 总持有成本 </th>
   <th style="text-align:center;"> 年度总成本TC </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 104000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 21 </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 666 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2500 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25.0% </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 5000 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;font-weight: bold;color: red !important;"> 5666 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 104000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 26 </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 832 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25.0% </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 4000 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;font-weight: bold;color: red !important;"> 4832 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 104000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 35 </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 1109 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1500 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25.0% </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3000 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;font-weight: bold;color: red !important;"> 4109 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 104000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 52 </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 1664 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25.0% </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 2000 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;font-weight: bold;color: red !important;"> 3664 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 104000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 104 </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3328 </td>
   <td style="text-align:center;"> 500 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25.0% </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 1000 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;font-weight: bold;color: red !important;"> 4328 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

### R&B公司案例：三类成本的关系

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt10-RB-bub-bear-cost-graph.png" alt="Bub啤酒的订货成本、年持有成本和年度总成本关系" width="666" />
<p class="caption">Bub啤酒的订货成本、年持有成本和年度总成本关系</p>
</div>

---

### R&B公司案例：最优订货数量

.pull-left[

]

.pull-right[

- 可以对总成本函数对Q求偏导，得到最优订货数量
`$Q^{\ast}$`为1824箱：

`$$\begin{align}
TC &=\left(\frac{D}{Q} \times C_0 \right) + \left(\frac{1}{2}Q \times C_h\right) \\
\Rightarrow
\frac{\partial{(TC)}}{\partial{Q}} &= -\frac{D\times C_o}{Q^2} + \frac{C_h}{2} =0\\
\Rightarrow
Q^{\ast} &= \sqrt{\frac{2\times D\times C_o}{C_h}} \\
&= \sqrt{\frac{2\times 104000\times 32}{C_h} } \\
&= 1 824.3
\approx 1824
\end{align}$$`

]

---

### R&B公司案例：最优订货数量

.pull-left[

]

.pull-right[

此时，年度总成本为3649美元：

`$$\begin{align}
TC &=\left(\frac{D}{Q^{\ast}} \times C_0 \right) + \left(\frac{1}{2}Q^{\ast} \times C_h\right) \\
&= \left(\frac{104000}{1824.3} \times 32 \right) + \left(\frac{1}{2}\times 1824.3 \times 2\right) \\
& =1824.3 +1824.3 \\
& =3648.6 \approx 3649
\end{align}$$`

- 此时，订货成本等于年度存货持有成本！

]

---

## 订货时间决策：若干术语

虽然我们已经指导了订货数量Q，但是我们还想指导应该在什么时候订货？

关于订货时间的决策是通过**再订货点**（reorder point）来描述的。

- **库存量**（inventory position）：是指现有库存量加上已订购但未收到的货物量。

- **再订货点**（reorder point）：是指需要下达新订单时的库存量。

- **提前期**：从下新订单到完成交货之间的间隔期。

.fyi[
例如：Bub啤酒下订单后，需要2天才能完成交货。
]

- **提前期需求**：指提前期之内，市场对产品的需求量。

.fyi[

例如：在新订单的提前期（2天）内，市场对Bub啤酒的预计需求量为832箱。

]

---

## 订货时间决策：再订货点的公式表达

**再订货点**的表达式为：

`$$\begin{align}
r=d \cdot m
\end{align}$$`

其中：

- 
`$r$`：再订货点

- 
`$d$`：每天的需求量

- 
`$m$`：几天中新订单的提前期

.footnote[
**说明**: 再订货点
`$r$`是需要签订新订单时的库存量。

]

---

## 订货时间决策：订货周期T

根据之前的计算，我们已经知道了年度订货的频率为
`$\frac{D}{Q}$`（假定每次订货数量都相等）。

订货周期
`$T$`一般可以表达为：

`$$\begin{align}
T = \frac{250}{D/Q^{\ast}} = \frac{250\times Q^{\ast}}{D}
\end{align}$$`

.fyi[
Bub啤酒案例中：

- 可以算出，年度订单次数
`$=\frac{D}{Q^{\ast}}=\frac{104000}{1824} \approx 57$`次。

- 假定一年中有250个工作日，那么R&B公司大概每
`$\frac{250}{57} = 4.39$`个工作日就会订一次货。

]

---
exclude: true

## R chunk：成本变量的组合与比较

---

## EOQ模型的灵敏度分析：关注的问题

.notes[
简要回顾：

- 目前为止，在R&B公司Bub啤酒案例中，我们都时给定每份订单成本
`$C_o=32$`美元，库存持有成本率为
`$I = 25\%$`。

- 但是要维持上述两个变量的水平不变，可能需要花费大量的时间和精力。

- 那么，在上述两个变量不同水平的多个可能组合下，订货成本和持有成本会如何变化？进而使得总成本发生哪些改变？

]

例如：

- 给定每份订单成本的3种可能性分别为
`$C_o \in (30; 32; 34)$`美元；

- 给定库存持有成本率的3种可能性分别为
`$I \in (24\%; 25\%; 26\%)$`

- 以上将会产生9种
`$\{C_o, I\}$`可能性组合。而其中的一种
`$\{C_o=32, I=25\%\}$`我们已经分析过了。

---

## EOQ模型的灵敏度分析：多种组合的对比

<table class="table table-striped" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>几种可能成本的最佳订货数量</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 库存持有成本率$I$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 每次订货成本$C_o$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 最佳订货量$Q^{\ast}$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 最优订货总成本 </th>
   <th style="text-align:center;"> 最优库存持有成本 </th>
   <th style="text-align:center;"> 最优总成本$TC$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 基准最优总成本$TC^{\ast}$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 总成本差值 </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 24% </td>
   <td style="text-align:center;"> 30 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1803 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1731 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1731 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3461 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3462 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 0.24 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 24% </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1862 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1787 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1787 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3575 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3576 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 0.74 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 24% </td>
   <td style="text-align:center;"> 34 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1919 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1842 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1842 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3685 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3690 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 4.74 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 25% </td>
   <td style="text-align:center;"> 30 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1766 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1766 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1766 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3533 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3535 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 1.84 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 25% </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;background-color: grey !important;"> 1824 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 1824 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 1824 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;background-color: yellow !important;"> 3649 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;background-color: yellow !important;"> 3649 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;color: red !important;"> 0.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 25% </td>
   <td style="text-align:center;"> 34 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1880 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1880 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1880 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3761 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3763 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 1.73 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 26% </td>
   <td style="text-align:center;"> 30 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1732 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1801 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1801 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3603 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3608 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 4.85 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 26% </td>
   <td style="text-align:center;"> 32 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1789 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1860 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1860 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3721 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3722 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 0.72 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 26% </td>
   <td style="text-align:center;"> 34 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: grey !important;"> 1844 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1918 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1918 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3835 </td>
   <td style="text-align:center;background-color: yellow !important;"> 3836 </td>
   <td style="text-align:center;color: red !important;"> 0.22 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

.page-font-22[
- 成本变量对
`$\{C_o=32, I=25\%\}$`为基准水平，得到的最优订货数量
`$Q^{\ast}=1824$`为基准最优订货数量

- 在它基础上算出来的总成本称为**基准最优总成本**
`$TC^{\ast}$`

]

---

## EOQ模型的灵敏度分析：点评

.notes[

通过对上述表格的分析，可以得到如下结论：

- EOQ模型对所计算成本中的微小的变动和错误是不敏感的。

- 一般而言，这种不敏感性是EOQ模型的一种特性。

也就是说，如果我们能够合理的估计库存**订货成本**和**持有成本**，那么就很有希望得到一个订货数量，它能使总成本接近实际的最小值。

]

---
exclude: true

## EOQ模型：Excel解法

---

## EOQ模型假设：若干总结

本节EOQ模型分析及相关公式，都是基于某些假定而建立的，具体而言：

.case[

- 1.需求量D是可以确定的，并按固定比率变化

- .red[2.每份订单的订货量Q是相同的。每下一份订单，库存水平就上升Q。]

- .red[3.每份订单的成本
`$C_o$`固定的，并且与订货数量无关。]

- 4.单位产品的采购价值C是不变的，并且与订货数量无关。

- 5.每个时期的库存持有成本
`$C_h$`是不变的，总库存持有成本是根据
`$C_h$`和库存量而定的。

- 6.不允许出现缺货及延迟订单等现象。

- 7.订单的提前期是固定的

- 8.必须不断进行库存量的检查。这样，只要库存量达到再订货点，就会有新的订单。

]

.page-font-24[

- 在实际种，人们会使用很多不同的库存系统，以实现最佳的运作方式。

]

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: lot-size

# 10.2节 经济生产批量模型

---
layout: true

<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter10"> 第10章 库存模型</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#lot-size">10.2 经济生产批量模型</a> </span></div>

---

## 经济生产批量模型：简介

**经济生产批量模型**与**经济订单批量模型**（EOQ）相类似。

.notes[
- **经济订单批量模型**（EOQ）中，订货量和订货时间是确定的，而且假设需求率不发生改变。

- **经济生产批量模型**中，假设订单数量是在数日或数周之内，以一个固定速率达到的，而不是一次性按照订单数量
`$Q^{\ast}$`运输货物。
]

---

## 经济生产批量模型：固定供应率

**固定供应率**：是指每段时期内供货的数量是一样的。

.case[

例如：工厂每天生产50个单位货物，并且计划生产10天。

- 这种供货模式是为了满足生产条件而设计的。

- 一旦完成订单，就开始生产；同时仓库中每天都会增加相同数量的货物供应，直到生产周期结束。

- 生产批量为
`$Q=50\times 10=500$`（单位）

]

产能大于市场需求的**假设**：要求生产率必须大于需求率。

.case[
例如：

- 如果需求率为每天50单位，则生产率必须至少每天生产50单位。

]

---

## 经济生产批量模型：库存模式

在生产周期内，市场需求使得库存减少，而生产使得库存增加，不断持续下一个生产周期。完整的库存模式如下图：

- 生产阶段内的库存累积率固定不变

- 非生产阶段内的库存消耗率也是固定不变的

- 平均库存还是最大库存的一半
`$Q/2$`

---

## 经济生产批量模型：订货成本和持有成本

我们同样需要计算两项成本：

- 订货成本

- 持有成本

此处的订货成本更准确的讲应该叫**生产启动成本**：

- 包括为生产系统的生产做准备所需的人工、物料以及损耗生产成本

- 它在每个生产周期内都是固定的，且与生产批量无关。

---

### 总成本模型：最大库存量和平均库存量

在给定了持有成本、启动成本、年需求率、年生产率的估计值的情况下，可以计算不同生产批量下的年度总成本。

.pull-left[
- 
`$d$`：日需求率

- 
`$p$`：日生产率

- 
`$t$`：一个生产周期的天数

- 生产批量
`$Q=p\times t$`

- 生产时间
`$t=Q/p$`
]

.pull-right[

- 最大库存量：

`$$\begin{align}
&=(p-d)t \\
&=(p-d)\left(\frac{Q}{p}\right)\\
&=\left( 1- \frac{d}{p}\right)Q
\end{align}$$`

- 平均库存量=最大库存量的一半：

`$$\begin{align}
&=\frac{1}{2}\left( 1- \frac{d}{p}\right)Q
\end{align}$$`

]

---

### 总成本模型：年启动成本和年持有成本

.pull-left[
- 
`$D$`：产品的年需求量

- 
`$P$`：产品的年生产量

- 
`$C_o$`：生产周期的启动成本

- 
`$c_h$`：单位产品的年持有成本

- 年度总成本
`$TC$`

]

.pull-right[

- 年启动成本=年生产循环次数X每次循环的启动成本：

`$$\begin{align}
&=\frac{D}{Q}\times C_o
\end{align}$$`

- 年持有成本=平均库存量X单位年成本：

`$$\begin{align}
&=\frac{1}{2}\left( 1- \frac{d}{p}\right)Q\times C_h
\end{align}$$`

]

---

### 总成本模型：年度总成本

.pull-left[
- 
`$D$`：产品的年需求量

- 
`$P$`：产品的年生产量

- 
`$C_o$`：生产周期的启动成本

- 
`$C_h$`：单位产品的年持有成本

- 年度总成本
`$TC$`

]

.pull-right[

- 年度总成本=年启动成本+年库存持有成本：

`$$\begin{align}
TC&=\frac{D}{Q}\times C_o +
\frac{1}{2}\left( 1- \frac{d}{p}\right)Q\times C_h
\end{align}$$`

]

.case[
假定生产设备每年运行
`$Y=250$`天（工作日）：

- 日需求量
`$d=D/250$`；

- 日生产量
`$p=P/250$`；且年生产量
`$P=250p$`

- 以下等式成立<sup>a</sup>：
`$\frac{d}{p}=\frac{D/250}{P/250}=\frac{D}{P}$`

- 年度总成本也可写成<sup>b</sup>：
`$TC=\frac{D}{Q}\times C_o +\frac{1}{2}\left( 1- \frac{D}{P}\right)Q\times C_h$`

]

.footnote[

说明：**<sup>a</sup>**实际上生产天数250天并不重要，此等式依旧成立。**<sup>b</sup>**因为年度数据比日度数据要更方便收集一些。

]

---

### 最优经济生产批量：理论推导

根据年度总成本，我们可以用微积分方法求解得到最优经济生产批量
`$Q^{\ast}$`：

`$$\begin{align}
TC&=\frac{D}{Q}\times C_o +
\frac{1}{2}\left( 1- \frac{D}{P}\right)Q\times C_h \\
\Rightarrow 
\frac{\partial{TC}}{\partial{Q}} & =
-\frac{D}{Q^2}\times C_o +
\frac{1}{2}\left( 1- \frac{D}{P}\right) C_h =0 \\
\Rightarrow 
Q^{\ast} &=
\sqrt{\frac{2D\times C_o}{\left(1-D/P\right)\times C_h}}
\end{align}$$`

---

### 最优经济生产批量：示例计算

.case[

美丽牌肥皂公司案例：

- 年生产能力
`$P=60000$`箱；年需求量
`$D=26000$`箱；生产启动成本
`$C_o=135$`美元；单位产品制造成本
`$C=4.50$`美元/箱；年持有成本率
`$I=24\%$`；单位库年存持有成本
`$C_h=C\times I=4.5\times 24\%=1.08$`美元。

- 可得到年度最优经济生产批量3387美元，最优生产总成本2073美元：

`$$\begin{align}
Q^{\ast} &=
\sqrt{\frac{2D\times C_o}{\left(1-D/P\right)\times C_h}}
=
\sqrt{\frac{2\times 26000 \times 135}{\left(1-26000/6000\right)\times 1.08}} = 3387\\
TC&=\frac{D}{Q^{\ast}}\times C_o +
\frac{1}{2}\left( 1- \frac{D}{P}\right)Q^{\ast}\times C_h \\ 
&=\frac{26000}{3387}\times 135 +
\frac{1}{2}\left( 1- \frac{26000}{6000}\right)\times3387\times 1.08
=2073
\end{align}$$`

]

---

### 最优经济生产批量：示例计算（订货时间决策）

.case[

美丽牌肥皂公司案例，进一步给定如下信息：

- 生产订单的提前期为
`$m=5$`天，用来规划和启动生产

- 每的工作日年
`$Y=250$`天

那么，可以计算得到：

- 再订货点（提前期的需求）为
`$r=d\times m=\frac{D}{Y} \times m =\frac{26000}{250} \times 5=520$`箱

- 生产周期T是指生产阶段之间的时间。
`$T=250Q^{\ast}/D=250 \times 3387/26000 \approx 33$`天。

- 生产率
`$p=P/Y=60000/250=240$`箱/天

- 每个周期的生产天数
`$3387/240=14.1$`天

- 也即，生产周期方案为：每33天生产3387单位产品，每个生产周期需要开工14.1天。

]

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: shortage

# 10.3节 有计划缺货时的库存模型

---
layout: true

<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter10"> 第10章 库存模型</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#shortage">10.3 有计划缺货时的库存模型</a> </span></div>

---

## 有计划缺货时的库存模型：问题描述

**缺货**（shortate）或**脱销**（stockout）是指供不应求。

在许多情况下，缺货是令人厌烦的，但有些时候，缺货是人们所期望的（因为持有成本很高）。因此，从经济学角度来看，人们会计划并允许缺货。本节，我们重点讨论一种缺货现象，称为**延迟订货**。

**延迟订货**（backorder）：当一位顾客下订单时，如果发现供应商缺货，则等待，直到新货到来时才履行订单的交付。通常情况下：

- 延迟订货状态下，顾客等待的时间一般相对较短。

- 公司会说服顾客，让他们等待（例如向客户保证具有新货订货的优先权）

此时，延迟订货的假设和操作是有效和成立的！

---

## 有计划缺货时的库存模型：库存模式

.fyi[

- 经济订货批量模型（EOQ）中，所有货物的需求率都是不变的，并且在同一时间存入仓库。

- 而延迟订货模型是EOQ模型的一种扩展，但是允许出现缺货状态。

]

---

## 有计划缺货时的库存模型：库存模式

延迟订货模型完整的库存模式如下图，并具有如下特点：

- 当订货到达时首先满足已订购尚未交货的需求。设订货批量为
`$Q$`，缺货为
`$S$`（最大延迟订货数量），则最大库存量为
`$Q-S$`。

- 库存周期（
`$T$`）被分成两个阶段：有现货阶段（
`$t_1$`）,缺货阶段（
`$t_2$`）

---

## 有计划缺货时的库存模型：延迟订货成本

明确了库存模式，我们可以按之前的方法继续推到总成本模型。我们同样需要计算两项成本：

- 订货成本

- 持有成本

与之前不同，这里我们需要考虑**延迟订货成本**：

- **延迟订货成本**，是指与处理延迟订货相关的人工以及特殊发货成本，以及由于延迟交货导致顾客不得不等待，而造成对公司信誉的损失（信誉成本）。

- 而且**信誉成本**一般取决于顾客的等待时间。等待时间越长，信誉成本越高。

- 因此，**延迟订货成本**可以表示为（基于延迟时间）：在固定时间内，持有一单位延迟订单中产品的成本。

- 一旦我们知道了平均延迟订货水平，以及每个周期内每份延迟订单的成本，那么我们就可以计算延迟订货的年度总成本。

---

### 总成本模型：平均库存量

.pull-left[

- 现货阶段
`$t_1$`时期内，平均库存为
`$\frac{Q-S}{2}$`

- 缺货阶段
`$t_2$`时期内，持有延迟订单。

- 因此在生产周期
`$T=t_1 +t_2$`时期内，可以计算周期内的平均库存量：

`$$\begin{align}
平均库存量&=\frac{1 / 2(Q-S) t_{1}+0 \times t_{2}}{t_{1}+t_{2}}\\
&=\frac{1 / 2(Q-S) t_{1}}{T}
\end{align}$$`

]

.pull-right[

]

---

### 总成本模型：平均库存量

.pull-left[

- 
`$D$`：年需求量

- 
`$d$`：日固定需求量

- 最大库存会在现货阶段用完。因此：现货时长
`$t_1 = \frac{Q-S}{d}$`

- 每个周期都会有
`$Q$`单位订单。因此，周期长度
`$T=\frac{Q}{d}$`

]

.pull-right[

]

此时，通过两个决策变量：订货数量
`$Q$`和最大延迟订货数量
`$S$`，我们就可以表达出**平均库存量**。

`$$\begin{align}
平均库存量&==\frac{1 / 2(Q-S) t_{1}}{T}
=\frac{1 / 2(Q-S)\left(\left(Q-S\right) / d\right)}{Q / d}=\frac{(Q-S)^{2}}{2 Q}
\end{align}$$`

---

### 总成本模型：平均延迟订货量

.pull-left[

- 
`$Q$`：周期内的订货批量

- 
`$S$`：最大延迟订货量

- 在现货阶段
`$t_1$`内，没有延迟订货。

- 在缺货阶段
`$t_2$`内，平均延迟订货数量
`$=\frac{S}{2}$`

- 每个周期内，平均延迟订货量：

`$$\begin{align}
平均延迟订货量&=\frac{0\times t_1 + (S/2)\times t_2 }{T} \\
&=\frac{(S/2)\times t_2}{T}
\end{align}$$`

]

.pull-right[

]

---

### 总成本模型：平均延迟订货量

.pull-left[

- 
`$Q$`：周期内的订货批量

- 
`$S$`：最大延迟订货量

- 
`$d$`：日固定需求量

- 在现货阶段
`$t_1$`内，没有延迟订货。

- 在缺货阶段
`$t_2$`内，平均延迟订货数量
`$=\frac{S}{2}$`

- 周期内延迟订货时长为：
`$t_2 = \frac{S}{d}$`

]

.pull-right[

]

此时，通过两个决策变量：订货数量
`$Q$`和最大延迟订货数量
`$S$`，我们就可以表达出**平均延迟订货量**。

`$$\begin{align}
平均延迟订货量&=\frac{(S/2)\times t_2}{T}
= \frac{S^2}{2Q}
\end{align}$$`

---

### 总成本模型：年度总成本

.pull-left[

- 
`$Q$`：周期内的订货批量

- 
`$S$`：最大延迟订货量

- 
`$C_o$`：一次订货成本

- 
`$C_h$`：单位产品的年库存持有成本

- 
`$C_b$`：延迟订货单位产品的年持有成本

]

.pull-right[

]

此时，**年度总成本=年订货成本 + 年延迟订货成本 + 年库存持有成本**：

`$$\begin{align}
TC=
\left( \frac{D}{Q}\times C_o \right) + 
\left( \frac{S^2}{2Q} \times C_b \right) + 
\left( \frac{(Q-S)^2}{2Q}\times C_h \right)
\end{align}$$`

---

### 总成本模型：理论推导

根据年度总成本公式，我们可以用微积分方法，求解得到年度总成本最小时的最优经济订货批量
`$Q^{\ast}$`和延迟订单数量
`$S^{\ast}$`：

`$$\begin{align}
TC &=
\left( \frac{D}{Q}\times C_o \right) + 
\left( \frac{S^2}{2Q} \times C_b \right) + 
\left( \frac{(Q-S)^2}{2Q}\times C_h \right) \\
\Rightarrow & 
\begin{cases}
  \frac{\partial{TC}}{\partial{Q}}  =0 \\
  \frac{\partial{TC}}{\partial{S}}  =0 
\end{cases} \\
\Rightarrow & 
\begin{cases}
  Q^{\ast} =
  \sqrt{
    \frac{2D\times C_o}{C_h}
    \left(\frac{C_h+C_b}{C_b}\right)
  } \\
  S^{\ast} =Q^{\ast}
    \left(\frac{C_h}{C_h+C_b}\right)
\end{cases}
\end{align}$$`

---
exclude: true

## R chunk：最优订货量和延迟订单数量

---

### Higley收音机配件案例：最优经济订货批量和延迟订单数量

.case[
Higley收音机配件公司：

- 产品年需求量：
`$D=2000$`单位

- 单位产品价值：
`$C=50$`美元,

- 库存持有成本率：
`$I=20\%$`

- 单位库存产品的年持有成本：
`$C_h =C\times I = 50\times 20\%=10$`美元

- 一次订货成本：
`$C_o =25$`美元,

- 延迟订货中单位产品的年持有成本：
`$C_b =30$`美元

]

`$$\begin{align}
Q^{\ast} &=
\sqrt{
  \frac{2D\times C_o}{C_h}
  \left(\frac{C_h+C_b}{C_b}\right)
} =
\sqrt{
  \frac{2\times 2000\times 25}{10}
  \left(\frac{10+30}{30}\right)
} =
115.4701
\approx
115
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
S^{\ast} &
= Q^{\ast} \left(\frac{C_h}{C_h+C_b}\right)
= 115 \left(\frac{10}{10+30}\right)
28.8675
\approx
29
\end{align}$$`

---

### Higley收音机配件案例：各类成本

.case[

Higley收音机配件案例：

- 最优订货批量
`$Q^{\ast}=115.47$`美元；最优延迟订单数量
`$S^{\ast}=28.87$`

- 最大库存量：
`$Q^{\ast}- S^{\ast}=115.47 -28.87=86.6$`单位。

- 产品年需求量：
`$D=2000$`单位

- 单位库存产品的年持有成本：
`$C_h =C\times I = 50\times 20\%=10$`美元

- 一次订货成本：
`$C_o =25$`美元,

- 延迟订货中单位产品的年持有成本：
`$C_b =30$`美元

]

`$$\begin{align}
&年订货成本 =
\frac{D}{Q^{\ast}}\times C_o =
\frac{2000}{115.47}\times 25 =433.01 \\
&年延迟订货成本  = 
\frac{{S^{\ast}}^2}{2Q^{\ast}} \times C_b 
= \frac{28.87^2}{2\times 115.47} \times 30 =108.25 \\
&年库存持有成本 =
\frac{{(Q^{\ast}-S^{\ast})}^2}{2Q}\times C_h 
= \frac{(115.47-28.87)^2}{2Q}\times 10=324.76
\end{align}$$`

---

### Higley收音机配件案例：年度总成本

.case[

Higley收音机配件案例：

- 最优订货批量
`$Q^{\ast}=115.47$`美元；最优延迟订单数量
`$S^{\ast}=28.87$`

- 产品年需求量：
`$D=2000$`单位

- 单位库存产品的年持有成本：
`$C_h =C\times I = 50\times 20\%=10$`美元

- 一次订货成本：
`$C_o =25$`美元,

- 延迟订货中单位产品的年持有成本：
`$C_b =30$`美元

]

`$$\begin{align}
年度总成本 &=
\left( \frac{D}{Q^{\ast}}\times C_o \right) + 
\left( \frac{{S^{\ast}}^2}{2Q^{\ast}} \times C_b \right) + 
\left( \frac{(Q^{\ast}-S^{\ast})^2}{2Q^{\ast}}\times C_h \right) \\
&= 433.01 +
108.25 +
324.76 \\
& =
866.03
\end{align}$$`

---

### Higley收音机配件案例：库存时间决策

.case[
Higley收音机配件公司：

- 每年工作日：
`$Y=250$`

- 产品日需求率：
`$d=D/Y = 2000/250=8$`单位/工作日

- 订货周期：
`$T=\frac{Q^{\ast}}{D}\times Y =\frac{115.47}{2000}\times 250 = 14.43$`工作日

- 缺货时间：
`$t_2=\frac{S^{\ast}}{d}=\frac{28.87}{8}=3.60$`工作日

- 有现货时间：
`$t_1=T-t_2=14.43-3.60=10.83$`工作日

]

---

### Higley收音机配件案例：与EOQ模式的对比

.fyi[

假设不允许出现延迟订货，而是采用经济订货批量模型（EOQ），则：

`$$\begin{align}
Q^{\ast}_{EOQ} &= \sqrt{\frac{2\times D\times C_o}{C_h}} 
= \sqrt{\frac{2\times 2000\times 35}{10} }
= 100
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
年订货成本_{EOQ} &= \left(\frac{D}{Q^{\ast}_{EOQ}} \times C_0 \right) 
= \left(\frac{2000}{100} \times 25 \right) 
=500\\
年库存持有成本_{EOQ} &= \left(\frac{1}{2}Q^{\ast}_{EOQ} \times C_h\right)
= \left(\frac{1}{2}\times 100 \times 10\right)
= 500\\
年度总成本TC_{EOQ} & =500 + 500 =1000
\end{align}$$`

]

- 采用允许延迟订货的模型，要比不允许缺货的EOQ模型，节省年度总成本
`$TC- TC_{EOQ} = 1000 -866 = 134$`美元，也即节省
`$134/1000=13.4\%$`。

- 当然，如果企业认为延迟订货会导致销售额减少，这样做也可能得不偿失。

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: discount

# 10.4节 EOQ模型的数量折扣

---
layout: true

<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter10"> 第10章 库存模型</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#discount">10.4 EOQ模型的数量折扣</a> </span></div>

---
exclude: true

## R Chunk：辅助函数及折扣安排

---

## 数量折扣：问题描述

数量折扣发生在如下情形下：

- 当大批量订购产品时，供应商往往会为了促使顾客增大订购批量而提供较低的购买价格。

> 例如：供应商不采用固定报价，而是如下图所示的折扣计划进行报价。

<table>
<caption>一种订单折扣安排方案</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 折扣阶梯 </th>
   <th style="text-align:center;"> 订单大小 </th>
   <th style="text-align:center;"> 折扣率(%) </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位成本(美元) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0 - 999 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1000 - 2499 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.8 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2500 - Inf </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.8 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

- 虽然订货数量越大，折扣优惠越是诱人。但是这也会导致更高的库存持有成本。

---

## 数量折扣：总成本模型

.pull-left[

- 
`$D$`：年度需求量

- 
`$Q$`：订货批量

- 
`$C_o$`：一次订货成本

]

.pull-right[

- 
`$C$`：库存产品的单位成本

- 
`$I$`：年持有成本率

- 
`$C_h=C\times I$`：单位产品的年库存持有成本

]

**数量折扣模型**需要将**年采购成本**（采购价值
`$D\times C$`）考虑到总成本中去。

- 此时，**年度总成本=年订货成本  + 年库存持有成本+ 年采购成本**：

$$TC =\left(\frac{D}{Q} \times C_0 \right) + \left(\frac{1}{2}Q \times C_h\right) +\left(D\times C\right) $$
- 订货数量求解，还是与EOQ模型相同：

`$$Q^{\ast} = \sqrt{\frac{2\times D\times C_o}{C_h}}$$`

---

## 数量折扣：示例计算（案例信息）

.case[
在三个阶梯的折扣情形下，给定如下信息：

- 年度需求量
`$D=5000$`

- 一次订货成本
`$C_o=49$`美元

- 库存产品的单位成本
`$C=(C_1, C_2, C_3) = (5.00, \quad4.85, \quad4.75)$`

- 年持有成本率
`$I=20\%$`

- 单位产品的年库存持有成本
`$C_h=C\times I=(C_{h1}, C_{h2}, C_{h3}) = (1.00, \quad0.97, \quad0.95)$`

]

---

## 数量折扣：示例计算（案例信息表）

<div id="htmlwidget-d3d0bb0fd39fd26ff31c" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-d3d0bb0fd39fd26ff31c">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"caption":"<caption>不同折扣下的相关信息表<\/caption>","data":[["1","2","3"],["EOQ计算数据","EOQ计算数据","EOQ计算数据"],[1,2,3],["0 - 999","1000 - 2499","2500 - Inf"],["0.0%","3.0%","5.0%"],[5000,5000,5000],[49,49,49],[5,4.85,4.75],["20.0%","20.0%","20.0%"],[1,0.97,0.95]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>数据集<\/th>\n      <th>折扣阶梯<\/th>\n      <th>订单大小<\/th>\n      <th>折扣率<\/th>\n      <th>年度需求D<\/th>\n      <th>一次订货成本Co<\/th>\n      <th>库存产品的单位成本C<\/th>\n      <th>年持有成本率I<\/th>\n      <th>单位产品的年库存持有成本Ch<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"Bt","columnDefs":[{"targets":6,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 2, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":8,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 2, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":10,"buttons":["copy","csv","excel"],"initComplete":"function(settings, json) {\n$(this.api().table().header()).css({'background-color': '#517fb9', 'color': '#fff'});\n}","order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false},"callback":"function(table) {\n$(\"button.buttons-copy\").css(\"background\",\"yellow\");\n                $(\"button.buttons-csv\").css(\"background\",\"orange\");\n                $(\"button.buttons-excel\").css(\"background\",\"#a88d32\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"padding\",\"0.2em 0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"font-size\",\"0.6em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-right\",\"0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-bottom\",\"0.1em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"line-height\",\"1em\");\n                return table;\n}"},"evals":["options.columnDefs.0.render","options.columnDefs.1.render","options.initComplete","callback"],"jsHooks":[]}</script>

---

## 数量折扣：示例计算（EOQ订货目标）

.pull-left[

在三种数量折扣情形下，我们分别可以计算得到EOQ库存模型下的最优订货批量：

`$$\begin{align}
Q^{\ast}&= \sqrt{\frac{2\times D\times C_o}{C_h}} \\
Q_{1}^{*}&=\sqrt{\frac{2\times 5000 \times 49}{(0.20\times 5.00)}}=700 \\
Q_{2}^{*}&=\sqrt{\frac{2\times 5000 \times 49}{(0.20\times 4.85)}}=711 \\
Q_{3}^{*}&=\sqrt{\frac{2\times 5000 \times 49}{(0.20\times 4.75)}}=718
\end{align}$$`

]

.pull-right[
显然：

- 三种情形下的最优批量，差异比较小，而且都没有达到第2阶梯（3%折扣优惠）和第3阶梯（5%折扣优惠）所需要的最小订货量。

- 因此，我们需要将订货数量进行调整，以达到折扣方案的最小订货量要求。例如我们可以调整订货量为：

`$$Q_1^{\ast}=700; \quad Q_2^{\ast}=1000; \quad Q_3^{\ast}=2500$$`
]

---

## 数量折扣：示例计算（EOQ订货目标）

<div id="htmlwidget-9bf49fd06899251bc3f1" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-9bf49fd06899251bc3f1">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"caption":"<caption>有数量折扣的EOQ年度成本计算表<\/caption>","data":[["1","2","3"],["EOQ计算数据","EOQ计算数据","EOQ计算数据"],[1,2,3],["0.0%","3.0%","5.0%"],[5,4.85,4.75],[700,710.742315593533,718.184846459608],[350,344.710023062864,341.137802068314],[350,344.710023062864,341.137802068314],[25000,24250,23750],[25700,24939.4200461257,24432.2756041366]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>数据集<\/th>\n      <th>折扣阶梯<\/th>\n      <th>折扣率<\/th>\n      <th>库存产品的单位成本C<\/th>\n      <th>订货数量<\/th>\n      <th>订货成本<\/th>\n      <th>持有成本<\/th>\n      <th>采购成本<\/th>\n      <th>总成本<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"Bt","columnDefs":[{"targets":4,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 2, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":5,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":6,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 1, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":7,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 1, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":8,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":9,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":10,"buttons":["copy","csv","excel"],"initComplete":"function(settings, json) {\n$(this.api().table().header()).css({'background-color': '#517fb9', 'color': '#fff'});\n}","order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false},"callback":"function(table) {\n$(\"button.buttons-copy\").css(\"background\",\"yellow\");\n                $(\"button.buttons-csv\").css(\"background\",\"orange\");\n                $(\"button.buttons-excel\").css(\"background\",\"#a88d32\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"padding\",\"0.2em 0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"font-size\",\"0.6em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-right\",\"0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-bottom\",\"0.1em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"line-height\",\"1em\");\n                return table;\n}"},"evals":["options.columnDefs.0.render","options.columnDefs.1.render","options.columnDefs.2.render","options.columnDefs.3.render","options.columnDefs.4.render","options.columnDefs.5.render","options.initComplete","callback"],"jsHooks":[]}</script>

- 在三种数量折扣情形下，EOQ库存模型下的最优订货批量，差异比较小，而且都没有达到第2阶梯（3%折扣优惠）和第3阶梯（5%折扣优惠）所需要的最小订货量要求。

---

## 数量折扣：示例计算（调整订货目标）

<div id="htmlwidget-0e4f9a5d3b930814e34f" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-0e4f9a5d3b930814e34f">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"caption":"<caption>有数量折扣的EOQ年度成本计算表<\/caption>","data":[["1","2","3"],["目标调整数据","目标调整数据","目标调整数据"],[1,2,3],["0.0%","3.0%","5.0%"],[5,4.85,4.75],[700,1000,2500],[350,245,98],[350,485,1187.5],[25000,24250,23750],[25700,24980,25035.5]],"container":"<table class=\"display\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th> <\/th>\n      <th>数据集<\/th>\n      <th>折扣阶梯<\/th>\n      <th>折扣率<\/th>\n      <th>库存产品的单位成本C<\/th>\n      <th>订货数量<\/th>\n      <th>订货成本<\/th>\n      <th>持有成本<\/th>\n      <th>采购成本<\/th>\n      <th>总成本<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"Bt","columnDefs":[{"targets":4,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 2, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":5,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":6,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 1, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":7,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 1, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":8,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"targets":9,"render":"function(data, type, row, meta) {\n    return type !== 'display' ? data : DTWidget.formatRound(data, 0, 3, \",\", \".\", null);\n  }"},{"className":"dt-center","targets":"_all"},{"visible":false,"targets":0},{"orderable":false,"targets":0}],"pageLength":10,"buttons":["copy","csv","excel"],"initComplete":"function(settings, json) {\n$(this.api().table().header()).css({'background-color': '#517fb9', 'color': '#fff'});\n}","order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false},"callback":"function(table) {\n$(\"button.buttons-copy\").css(\"background\",\"yellow\");\n                $(\"button.buttons-csv\").css(\"background\",\"orange\");\n                $(\"button.buttons-excel\").css(\"background\",\"#a88d32\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"padding\",\"0.2em 0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"font-size\",\"0.6em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-right\",\"0.2em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"margin-bottom\",\"0.1em\");\n                $(\"button.dt-button\").css(\"line-height\",\"1em\");\n                return table;\n}"},"evals":["options.columnDefs.0.render","options.columnDefs.1.render","options.columnDefs.2.render","options.columnDefs.3.render","options.columnDefs.4.render","options.columnDefs.5.render","options.initComplete","callback"],"jsHooks":[]}</script>

- 人为地调整订货量，以比较三个折扣阶梯的成本情况：

`$$Q_1^{\ast}=700; \quad Q_2^{\ast}=1000; \quad Q_3^{\ast}=2500$$`

---

## 数量折扣：不同折扣率下的总成本曲线

.pull-left[

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="../pic/chpt10-discount-cat-curve.png" alt="不同订货量和折扣率下的总成本曲线" width="1869" height="450" />
<p class="caption">不同订货量和折扣率下的总成本曲线</p>
</div>

]

.pull-right[

根据计算表（上页）和左图，可以发现：

- 以折扣阶梯2（3%的折扣）订货
`$Q^{\ast}_2=1000$`单位，可以使得总成本达到最小（
`$TC_2 = 24980$`美元）。

- 尽管以折扣阶梯3（5%的折扣）很有吸引力，但是过多的订货量（
`$Q^{\ast}_2=1000$`单位），会使得持有成本快速升高，从而总成本达到变大（
`$TC_2 = 25036$`美元）。

]

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: single

# 10.5节 概率需求下的单阶段库存模型

---
layout: true

<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter10"> 第10章 库存模型</a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#single">10.5 概率需求下的单阶段库存模型</a> </span></div>

---

## 单阶段库存模型：问题描述

.fyi[

目前为止，我们讨论的库存模型都是基于如下假设：

- 全年内需求率不变，且是**确定性的**

]

如果需求率不确定，则可以对需求进行概率分布表达。

本节，我们将介绍的**单阶段库存模型**（single-period inventory）就是属于这种类型，具体库存决策特征有：

- 首先发出订单订购该产品，在期末，该产品或者被售出，或者未被售出而以过剩产品按照废品回收的价值处理掉。

- 单阶段库存模型适用于季节性或易腐烂产品的库存。这些产品不能在库存中存放以待将来出售。包括季节性衣物（如泳衣、冬季大衣），报纸等。

- 此时，我们需要得到各种需求量概率分布的信息。

---
exclude: true

## R Chunk：需求分布概率与订货量求解

---
exclude: true

## R Chunk: ggplot uniform distribution

---

### 强身鞋业公司：案例背景

.case[
现实问题：

- 强身鞋业公司采购员决定采购一种新鞋，该鞋将参与春夏两季促销活动，因为该鞋是春夏款，不能在秋季销售。

- 该公司计划举办8月清仓售卖活动，以半价30美元出售那些在7月31日之前未售出的产品。该鞋每双成本40美元，零售每双60美元。

- 采购员将会为公司订购多少双这种鞋？

]

---

### 强身鞋业公司：均匀需求概率分布

.fyi[

我们首先要提出的一个问题是：

- 这种鞋的可能需求量为多少？

]

对于尺码10D这种鞋，假设其需求服从均匀概率分布（见右下图）：

.pull-left[

- 该鞋需求量范围是
`$350\sim 650$`双。

- 平均需求即期望需求为500双。

]

.pull-right[

]

---

### 强身鞋业公司：均匀分布的概率密度pdf图

> 如果需求D服从均匀分布，则表达为
`$D \sim U(a, b)$`。本案例中对应的为
`$D \sim U(350, 650)$`，平均需求量为
`$E(D)= (a+b)/2=(350+650)/2=500$`双。

---

### 强身鞋业公司：增量分析（定义）

**增量分析**（increamental analysis）：是一种用以决定单阶段库存模型的最佳订货数量的方法。

> 通过比较订购一单位额外产品与不订购该产品所发生的成本损失，增量分析解决了订购数量的问题。