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总量指标的概念和作用

总量指标，又称为绝对指标，是反映社会经济现象一定时间、地点、条件下总的规模、水平的统计指标。

总量指标表现形式是绝对数，也可表现为绝对差数。

例：2009年我国财政收入6.8万亿元，比上年增收近8000亿元。

作用：

• 总量指标能反映一个国家的基本国情和国力，反映某部门、单位等人、财、的基本数据 。
• 总量指标是进行决策和科学管理的依据之一 。
• 总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。

总量指标的分类

按其反映的内容不同可分为：

• 总体单位总量：度量总体的单位数数量。例如，全班学生总人数。

• 总体标志总量：度量总体中某个标志值总和的量。例如全班所有学生的总成绩。

按其反映的时间状况不同可分为：

• 时期指标：反映现象在某一时期发展过程的总数量。可连续计数，与时间长短有关，是累计结果。

例如：一定时期的产品产量、产值、商品销售量、工资总额等。

• 时点指标：反映现象在某一时刻的状况。间断计数，与时间间隔无关，不能累计。

例如：特定时刻上，人口数、企业数、商品库存数、流动资金额。

总量指标的计算

计算总量指标时需要考虑：

• 现象的同类性。

• 明确的统计含义。

• 计量单位必须一致。

总量指标的计量单位

总量指标计量单位主要有三种形式：

A.实物单位：

• 自然单位：辆、双、头、根、个……
• 度量衡单位：吨、米、克、立方米……
• 双重单位：公里/小时、吨/台（起重机）、吨/（立方米*座*年）……
• 复合单位：吨公里（货运量）、千瓦小时（度）……

B.价值单位(货币单位)：

• 货币单位有现行价格和不变价格之分。
• 价值单位使不能直接相加的产品产量过渡到能够加总。

C.劳动单位：

• 工时：工人数和劳动时数的乘积。
• 台时：设备台数和开动时数的乘积。

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相对指标概述：概念和作用

相对指标：是两个有联系的绝对指标之比。

示例：2009年我国对外贸易进口总额增长率为16.3%。

作用：

• 具体表明社会经济现象之间的比例关系。

• 使一些不能直接对比的事物找出共同比较的基础。

• 便于记忆、易于保密。

相对指标概述：类型

• 计划完成相对指标：用来检查、监督计划执行情况的相对指标。

• 结构相对指标：利用分组法，将总体区分为不同性质（即差异）的各部分，以部分数值与总体全部数值对比而得出比重或比率，用以反映总体内部构成状况的相对指标。

• 比例相对指标：同一总体内不同组成部分的指标数值对比的结果，用来反映总体内部的比例关系。

• 比较相对指标：将两个同类指标做静态对比得出的相对指标，表明同类现象在不同条件下的数量对比关系。

• 强度相对指标：是两个不同性质的、但有一定联系的总量指标对比的结果，用来表明现象的强度、密度和普遍程度的相对指标。

• 动态相对指标：后面专门一章学习。

相对指标概述：表现形式

相对指标的表现形式有两大类：

• 有名数形式：分子分母的单位不能化约。

  • 人口密度：人/平方公里

  • 平均每人分摊的粮食产量：千克/人

• 无名数形式：分子分母的单位可以化约。

  • 系数或倍数：是将比的基数抽象化为1。例如：固定资产磨损系数、工资等级系数、结构比例系数。

  • 成数：是将比的基数抽象化为10。例如：粮食产量增加一成，即增长1/10。

  • 百分数：是将比的基数抽象化为100。

  • 千分数：是将比的基数抽象化为1000。

相对指标概述：运用原则

相对指标的运用原则：

• 注意二个对比指标的可比性。

• 相对指标要和总量指标结合起来运用。

• 多种相对数结合运用

• 在比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点表示之。

百分点：即百分比中相当于百分之一的单位。

（案例）钢产量：相对指标与总量指标巧妙结合

计划完成相对指标：概念和特征

计划完成相对指标：实际完成数与计划任务数对比的比率。根据分子分母是否属于同一时期，可以分为两类，具体计算公式分别为：

• 计划完成程度：分子分母属同一时期。

$$计划完成程度 = \frac{实际完成数}{计划完成数}\times 100\%$$

• 计划完成进度：分子分母属不同时期。

$$计划完成进度 = \frac{计划初期至某期实际累计完成数}{全期计划数}\times 100\%$$

特征：分子分母不能颠倒位置。

计划完成相对指标：任务下达形式

计划完成相对指标的下达形式主要有三种：

• 以总量指标下达任务，具体计算公式为：

$$计划完成相对指标 = \frac{实际水平}{计划水平}\times 100\%$$

• 以平均指标下达任务，具体计算公式为：

$$计划完成相对指标 = \frac{实际平均水平}{计划平均水平}\times 100\%$$

• 以相对指标下达任务，具体计算公式为：

$$\begin{align} 计划完成相对指标 = \frac{实际为基数的百分数}{计划为基数的百分数}\times 100\% = \frac{1 \pm 实际增减百分数}{1 \pm 计划增减百分数}\times 100\% \end{align}$$

（示例）计算计划完成相对指标：以总量指标为基础

问题：设某公司某年计划工业总产值为200万元，实际完成220万元，则计划完成程度为多少？

答案：

$$\begin{align} \text { 总产值计划完成相对数 }=\frac{220}{200} \times 100 \%=110 \% \end{align}$$

（示例）计算计划完成相对指标：以平均指标为基础

问题：某化肥企业某年每吨化肥计划成本为200元，实际成本为180元，则计划完成程度为多少？

答案：

$$实际单位成本-计划单位成本=180-200=-20（元）$$

计算结果表明该企业化肥单位成本实际比计划降低了10%，平均每吨化肥节约生产费用20元。

$$\begin{align} \text { 成本计划完成相对数 }=\frac{180}{200} \times 100 \%=90 \% \end{align}$$

（示例）计算计划完成相对指标：以相对指标为基础

问题：某企业生产某产品，上年度实际成本为420元/吨，本年度计划单位成本降低6%，实际降低7.6%，则计划完成程度为多少？

答案1：

$$\begin{align} \text { 成本降低率计划完成相对数 }=\frac{1-7.6 \%}{1-6 \%} \times 100 \%=98.29 \% \end{align}$$

答案2：本题也可换算成绝对数计算。

$$\begin{array}{ccc} \text { 计划: } & -6 \% & \sim \text { 394. 8元/吨 } & {[(1-6 \%) \times 420]} \\ \text { 实际: } & -7.6 \% & \sim 388.08 \text { 元 } / \text { 吨 } & {[(1-7.6 \%) \times 420]} \end{array}$$

$$\begin{align} \text { 成本降低率计划完成相对数 }=\frac{388.08}{394.8} \times 100 \%=98.29 \% \end{align}$$

计划完成相对指标：中长期计划

中长期计划执行情况检查：

• 水平法：根据计划末期实际达到水平与计划规定末期应达到水平对比，来确定是否完成全期计划。

$$\begin{equation} \text { 计划完成程度 }=\frac{\text { 计划末期实际达到水平 }}{\text { 计划末期应达到水平 }} \times 100 \% \end{equation}$$

• 累计法：整个计划期间实际完成的累计数与全期计划数对比，来确定是否完成全期计划。

$$\begin{equation} \text { 计划完成程度 }=\frac{\text { 实际全期累计完成数 }}{\text { 计划全期累计数 }} \times 100 \% \end{equation}$$

计划完成相对指标：提前完成时间

计算提前完成计划时间

• 对于水平法：在整个计划期内，只要连续12个月实际完成数达到计划末期水平，就算完成计划，则往后的时间即为提前完成计划的时间。

• 对于累计法：从计划初开始至某一时期止，实际完成累计数达到计划规定的累计数，就算完成计划，而往后的时间即为提前完成计划的时间。

（示例1）中长期计划提前期：水平法

例题：某地区按五年计划规定，最后一年国民生产总值应达到520亿元，实际国民生产总值如下表所示：

问题：请用水平法计算提前多长时间完成计划任务？

解答：根据水平法，只需要连续一个自然年（12个月）达到年计划产值，就算完成任务 $^\ast$。通过观察和计算可以发现：第4年下半年+第5年第1季度+第5年第2季度= $(220+140+160)=520$。因此提前了两个季度完成520亿元的年度计划任务。

（示例2）中长期计划提前期：水平法

（示例2）中长期计划提前期：水平法

（示例2）中长期计划提前期：水平法

（示例2）中长期计划提前期：水平法

（示例3）中长期计划提前期：累计法

例题：某地区按五年计划规定，固定资产投入额为30亿元，实际投入情况如下表所示：

问题：请用累计法计算提前多长时间完成计划任务？

解答：根据累计法，从期初开始累计达到计划投入额30亿元，即为达成目标，剩余日期即为提前期。通过观察和计算可以发现：第1年至第4年实际投入额累加= $(6+7+8+9)=30$。因此完成计划时间为第4年，也即意味着提前1年完成五年计划规定任务。

结构相对指标：概念和特征

结构相对指标：反映某个总体内，有机构成的组成部分在系统中的地位，具体通过同一总体中部分数值与总体数值之比来衡量。

指标特征：

• 子分母不能颠倒

• 结构相对指标直接相加之和等于1

计算公式：

$$结构相对指标 = \frac{总体部分数值}{总体全部数值}\times 100\%$$

结构相对指标：作用

结构相对指标的作用主要体现在：

• 可以反映总体内部结构的特征

• 不同时期相对数的比较，可以看出变化过程及趋势

• 能反映对忍耐力、物力、财力的利用程度及经营效果的好坏

• 结构相对数在平均数计算中的应用：用于分析加权算术平均数指标的大小极其变动的原因 $^\ast$。

（示例）结构相对指标：企业实收资本

（示例）结构相对指标：国内生产总值构成

比例相对指标：概念和特征

比例相对指标：反映某个总体内，某一组成部分与其他组成部分的地位对比关系，具体通过同一总体中各组成部分之间数值之比来衡量。

指标特征：分子分母可以颠倒

计算公式：

$$比例相对指标 = \frac{总体某一部分数值}{总体中另一部分数值}\times 100\%$$

比例相对指标：类型与形式

比例相对指标有两类表现形式：

• 两两作比：抽象基数为1、10、100或1000。

示例：我国2000年第五次人口普查结果，男女性别比例为106.74:100，这说明以女性为100，男性人口是女性人口数的106.74倍。2009年我国出生人口性别比为119.45，比2008年下降了1.11。

• 多部作比：各部分的百分数连比得比例相对数。

示例：2009年上海GDP抽象化为100，第一产业、第二产业、第三产业的比例为：0.7︰39.9︰59.4

（示例）比例相对指标

示例：某学院两个学科的人数统计表如下：

计算比例相对指标：

• 此处，我们假定两个学科的地位是平等无差异的的。

• 学科人数比（经济学=100）： $R_{r1} = \frac{1108}{781}\times 100\%=$ 142.1

• 学科人数比（管理学=100）： $R_{r2} = \frac{781}{1108}\times 100\%=$ 70.4

比较相对指标：概念和特征

比较相对指标：反映同类现象不同条件下（不同时间/空间之间）的指标对比。

计算公式：

$$比较相对指标 = \frac{某一条件下某类指标数值}{另一条件下同类指标数值}\times 100\%$$

指标特征：

• 比较基数（标准）是一般对象，分子与分母的位置可以互换。

• 比较基数（标准）具有典型化，分子与分母的位置不能互换。

例如：单位产品的质量、成本、单耗等技术经济指标。

（示例）比较相对指标：两个示例

（示例）比较相对指标：两个示例

强度相对指标：概念和作用

强度相对指标：两个性质不同但又相互联系的总量指标的对比。

计算公式：

$$强度相对指标 = \frac{某一总体指标数值}{另一有联系的总体指标数值}\times 100\%$$ 指标作用：

• 说明一个国家、地区、部门的经济实力或为社会服务的能力。

• 反映和考核社会经济效益。如流通费用率、资金利润率等。

• 为贬值计划和长远规划提供参考依据。

强度相对指标：表现形式

强度相对数的主要有两种表现形式：

• 有名数形式：一般用复名数表示，如人/平方公里、部/百人

• 无名数形式：一般用百分（%）或千分数（ $\unicode{x2030}$）表示，如流通费用率（%）、人口增长率（ $\unicode{x2030}$）。

有些强度相对指标有正指标/逆指标两种计算方法。

• 分子分母可以交换，含义相同，只是表达习惯上的差异。

• 与术语词义一致的、或广为使用的则称为“正指标”，反之则称为“逆指标”。

（示例）计算强度相对指标

示例：某城市人口100万人，有零售商业机构5000个。请计算强度相对指标，分析商业网点密度情况。

解答：可以分别计算出商业网店密度的正指标和逆指标。

• 商业网店密度的正指标： $R_{d1}=\frac{5000个}{1000000人}=5$（个/千人）

• 商业网店密度的逆指标： $R_{d1}=\frac{1000000人}{5000个}=200$（人/个）

动态相对指标：概念和特征

动态相对指标：同类现象同一空间不同时间指标的对比。

计算公式：其中一个指标为“发展水平”。

$$动态相对指标 = \frac{某一现象报告期数值}{同一现象基期数值}\times 100\%$$ 指标特征：分子分母不能颠倒。

（示例）计算动态相对指标

案例：某地2014年和2015年国民生产总值分别为56 亿元和60亿元。请计算动态相对指标，分析其经济发展状况。

解答：我们可以计算其国民生产总值的发展水平相对指标。

$$R_p= \frac{60}{56}\times 100\%=107\%$$

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集中趋势：概述

集中趋势（central tendency）：一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。

集中趋势示意图

注释：^* 复习数据的四个层次：名义尺度（nominal）、 顺序尺度（ordinal）、区间尺度（interval）、比率尺度（ratio）。

众数：概念和特征

众数（Mode）：一组数据中出现次数最多的变量值，一般记为 $M_o$。

众数的特征：

• 适合于数据量较多时使用。

• 不受极端值的影响。

• 一组数据可能没有众数或有几个众数。

• 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。

（示例）众数的表现形式：河流长度

（示例）众数的表现形式：河流长度

（示例）众数的表现形式：河流长度

（示例）众数的表现形式：河流长度

众数计算：概览

A.对于单项式分配数列：观察法，识别频次最多的组。

B.对于组距式分配数列：由最多次数来确定众数所在组；利用比例插值法推算众数的近似值。

众数计算：组距式数列

众数计算：组距式数列

众数计算：组距式数列

（示例）：众数计算（单项式数列）

案例说明：某饮料便利店一天内不同品牌饮料的销售情况如下表所示。请计算众数是什么？

解答：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量（nominal），不同类型的饮料就是变量值。所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多（15人），占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即： $M_0=$碳酸饮料。

（示例）：众数计算（单项式数列）

案例说明：甲城市300家庭对住房状况进行评价，数据统计情况如下表所示。请计算众数是什么？

解答：这里的变量为“住房状况评价”，这是个顺序变量（orderial），不同类型的饮料就是变量值。所调查的300人中，甲城市中对住房表示不满意的户数最多（108户），因此众数为“不满意”这一类别，即： $M_0=$碳酸饮料。

（示例）：众数计算（组距式数列）

$$\begin{align} \text { 下限公式: } M_{o}&=1500+\frac{70-37}{(70-37)+(70-43)} \times 500=1775(\text { 元 }) \end{align}$$

$$\begin{align} \text { 上限公式: } M_{o}&=2000-\frac{70-43}{(70-37)+(70-43)} \times 500=1775(\text { 元 }) \end{align}$$

众数特征：总结

下面对众数及其计算做一个小结：

• 众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极端值和开口组数列的影响。

• 众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。

在组距式数列的插值近似计算中，众数的确定受相邻两个组频次的影响。

• 若 $f_{m-1}=f_{m+1}$，则众数取值等于众数组的组中值。

• 若 $f_{m-1} < f_{m+1}$，则众数取值大于众数组的组中值，从而接近于组上限值。

• 若 $f_{m-1} > f_{m+1}$，则众数取值小于众数组的组中值，从而接近于组下限值。

中位数：概念和特征

中位数（median） ：排序后处于中间位置上的变量值，一般记为 $M_e$。

中位数的特征：

• 不受极端值的影响

• 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据。

• 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即：

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-M_{\mathrm{e}}\right|=\min \end{equation}$$

中位数计算：概览

情形1：未分组资料确定中位数；

a.先排序。b.再确定中位数所在位置。c.再确定中位数。

情形2：分组资料确定中位数；

• 情形2-1：单项式分组数列计算中位数数

a.计算累积百分比，确定中位数所在组。b.确定中位数。

• 情形2-2：组距式分组数列计算中位数数

a.计算累积百分比，确定中位数所在组。b.（利用插值公式近似）确定中位数。

中位数计算：未分组资料

第一步：中位数的位置 $p$的确定。

$$\begin{equation} p = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n+1}{2} & (n \text {为奇数}) \\ \frac{n}{2}, \frac{n}{2}+1 & (n \text {为偶数}) \end{array}\right. \end{equation}$$

第二步：数值的确定。

$$\begin{equation} M_{e}=\left\{\begin{array}{ll} X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & (n \text {为奇数}) \\ \frac{1}{2}\left (X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & (n \text {为偶数 }) \end{array}\right. \end{equation}$$

（示例）：未分组数据计算中位数

案例说明：有7名工人生成同种产品，日产量分别为：

W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 
10 21 12 15 14 19 17

解题过程：我们注意到数据样本量 $n=$ 7，为奇数。

• 对原始数据进行排序（由小到大）：

W1 W3 W5 W4 W7 W6 W2 
10 12 14 15 17 19 21

• 确定中位数的位置 $p = \frac{7+1}{2}=$ 4。

• 因此得到中位数为 $m_e=$ 15（件）。

（示例）：未分组数据计算中位数

案例说明：继续前面案例数据，假设增加另1名工人的日产量数据：

W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 
22 10 21 12 15 14 19 17

解题过程：我们注意到数据样本量 $n=$ 8，为偶数。

• 对原始数据进行排序（由小到大）：

W2 W4 W6 W5 W8 W7 W3 W1 
10 12 14 15 17 19 21 22

• 确定中位数的位置 $p = \frac{8+1}{2}=$ 4.5。

• 因此得到中位数为 $m_e=\frac{15+17}{2}$ 16（件）。

中位数计算：单项式分组数列

主要计算步骤：

• 第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。

• 第二步：再确定中位数所在的位置： $p= \frac{\sum{f_i}}{2}$。

• 第三步：根据计算的位置，找到该位置所在组，并确定中位数 $M_e$。

（示例）：单项式数列计算中位数

（示例）：单项式数列计算中位数

思考：^* 大家可以练习使用较大制方法累计频次。

（示例）：单项式数列计算中位数

（示例）：单项式数列计算中位数

思考：^* 大家可以练习使用较大制方法累计频次。

中位数计算：组距式分组数列

主要计算步骤：

• 第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。

• 第二步：再确定中位数所在的位置： $p= \frac{\sum{f_i}}{2}$。

• 第三步：根据计算的位置，找到该位置所在组，初步确定中位数 $M_{e1}$。

• 第四步：利用合适的插值公式，近似计算得到更为“精确”的中位数数值 $M_{e2}$。

（演示）中位数计算：较小制下限插值公式

较小制且给定下限值时的相关定义：

• $X_{L}$表示组下限（Lower limits）； $X_{U}$表示组上限（Upper limits）。

• $d$表示众数组的组距（width）； $x$表示待求解的组距部分。

• $f_{m}$表示中位数组的频次, $S_{m-1}$表示中位数所在组的前一组的较小累计频次； $y$表示与 $x$宽度相对应频次。

（演示）中位数计算：较小制下限插值公式

较小制给定下限值时，则采用较小制下限公式 $(Min, Lower)$：

$$\begin{equation} \frac{x}{d} = \frac{\left(\sum{f_i}/{2}-S_{m-1}\right)}{f_m} \quad \Rightarrow \quad M_{eL}=X_{L}+ x \\ M_{eL}= X_{L}+\frac{\frac{\sum f}{2}-S_{m-1}}{f_{m}} \cdot d \end{equation}$$

（演示）中位数计算：较小制上限插值公式

较小制且给定上限值时的相关定义：

• $X_{L}$表示组下限（Lower limits）； $X_{U}$表示组上限（Upper limits）。

• $d$表示众数组的组距（width）； $x$表示待求解的组距部分。

• $f_{m}$表示中位数组的频次, $S_{m}$表示中位数所在组的较小累计频次； $y$表示与 $x$宽度相对应频次。

（演示）中位数计算：较小制上限插值公式

较小制给定下限值时，则采用较小制上限公式 $(Min, Upper)$：

$$\begin{equation} \frac{x}{d} = \frac{\left(S_{m} - \sum{f_i}/{2}\right)}{f_m} \quad \Rightarrow \quad M_{eU}=X_{U} -x \\ M_{eU}=X_{U} -\frac{S_{m} - \frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d \end{equation}$$

（演示）中位数计算：较大制下限插值公式

较大制且给定下限值时的相关定义：

• $X_{L}$表示组下限（Lower limits）； $X_{U}$表示组上限（Upper limits）。

• $d$表示众数组的组距（width）； $x$表示待求解的组距部分。

• $f_{m}$表示中位数组的频次, $S_{m}$表示中位数所在组的较大累计频次； $y$表示与 $x$宽度相对应频次。

（演示）中位数计算：较大制下限插值公式

较大制给定下限值时，则采用较大制下限公式 $(Max, Lower)$：

$$\begin{equation} \frac{x}{d} = \frac{\left(S_{m}- \sum{f_i}/{2}\right)}{f_m} \quad \Rightarrow \quad M_{eL}=X_{L}+ x \\ M_{eL}= X_{L}+\frac{S_{m} -\frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d \end{equation}$$

（演示）中位数计算：较大制上限插值公式

较大制且给定上限值时的相关定义：

• $X_{L}$表示组下限（Lower limits）； $X_{U}$表示组上限（Upper limits）。

• $d$表示众数组的组距（width）； $x$表示待求解的组距部分。

• $f_{m}$表示中位数组的频次, $S_{m+1}$表示中位数所在组的后一组的较小累计频次； $y$表示与 $x$宽度相对应频次。

（演示）中位数计算：较大制上限插值公式

较大制给定上限值时，则采用较大制上限公式 $(Max, Upper)$：

$$\begin{equation} \frac{x}{d} = \frac{\left( \sum{f_i}/{2} -S_{m+1} \right)}{f_m} \quad \Rightarrow \quad M_{eU}=X_{U} -x \\ M_{eU}=X_{U} -\frac{\frac{\sum f}{2} -S_{m+1} }{f_{m}} \cdot d \end{equation}$$

（示例）组距式分配数列中位数计算

案例说明：某工厂共有164个工人，全体工人的日产量（X）经过分组统计后（ $G1 \sim G7$），各组工人人数（n）的分布数据如下表所示。请计算中位数是什么？

（示例）较小制情形下中位数计算：粗略结果

（示例）较小制情形下中位数计算：插值公式结果

（示例）较大制情形下中位数计算：粗略结果

（示例）较大制情形下中位数计算：插值公式结果

中位数特征：总结1

• 中位数不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。

• 各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个最小值。

$$\begin{equation} \sum\left|X-M_{e}\right|=\min ;\quad or \quad \sum{\left|X-M_{e}\right|f_i}=\min \end{equation}$$

• 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平。

中位数特征：总结2

中位数数值 $M_e$受到中位数所在组的较小累计频次 $S_{(m,Min)}$及较大累计频次 $S_{(m,Max)}$数值大小的共同影响。

• 若 $S_{(m,Min)} = S_{(m,Max)}$，则中位数所在组的组中值等于插值近似计算值，也即：

$$M_e = M_{eL}= M_{eU}= \frac{X_U +X_L}{2}$$

• 若 $S_{(m,Min)} < S_{(m,Max)}$，则插值近似计算值更加接近于中位数所在组的组上限值，也即：

$$M_e = M_{eL}= M_{eU} \ll X_U$$

• 若 $S_{(m,Min)} > S_{(m,Max)}$，则插值近似计算值更加接近于中位数所在组的组下限值，也即：

$$M_e = M_{eL}= M_{eU} \gg X_L$$

在前面例子中，累积频次分别为 $S_{(m,Min)} = 115,S_{(m,Max)=85}$，而中位数所在组为第4组（G4，"80-90Kg"），改组的组中值 $\frac{X_U +X_L}{2}= \frac{80+90}{2} =85$。因此插值公式得到的中位数近似值（80.8333）会小于组中值（85），而更接近改组的下限值（80）。

四分位数：概念和特征

四分位数（Quartile）：排序后处于25%和75%位置上的值，包括四分之一位数（ $Q_1$）和四分之三位数（ $Q_3$）。

四分位数的特征：

• 不受极端值的影响。

四分位数：计算方法

情形1：未分组资料确定分位数；

a.先排序。b.再确定1/4和3/4分割点位置。c.再确定两个分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

情形2：分组资料确定分位数；

• 情形2-1：单项式分组数列计算中位数数

a.确定1/4和3/4分割点位置。b.再确定两个分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

• 情形2-2：组距式分组数列计算分位数

a.计算累积频次，确定1/4和3/4分割点位置。b.初步确定两个分位数（所在组） $Q_1$和 $Q_3$。c.最后（利用插值公式近似）相对“精确地”估算两个分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

四分位数计算：未分组资料

未分组资料的四分位数计算，主要步骤如下：

第一步：将总体各单位的标志值按大小顺序排列/或分组排序。

第二步：确定1/4和3/4分割点位置 $p_1$和 $p_3$。

$$\begin{equation} p_1 = \frac{n+1}{4} ; \quad p_3 = \frac{3(n+1)}{4} \end{equation}$$

第三步：确定两个分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

• 若 $\frac{n+1}{4}$为整数，则 $p_1$和 $p_3$分割点位置对应的分组标志值则分别为对应的四分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

• 若 $\frac{n+1}{4}$不是整数，则 要用分割点位置对应的两个相邻组近似计算（加权算术平均数）相应的分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

（示例）：未分组数据计算分位数

案例说明：有11名工人生成同种产品，日产量分别为：

 W1  W2  W3  W4  W5  W6  W7  W8  W9 W10 W11 
  2   7   5   6   8  12   9  10  16  15  20

解题过程：我们注意到数据样本量 $(n+1)/4=$ 3，为整数。

• 对原始数据进行排序（由小到大）：

 W1  W3  W4  W2  W5  W7  W8  W6 W10  W9 W11 
  2   5   6   7   8   9  10  12  15  16  20

• 再确定分位数的位置，其中且 分割点为： $p_1 =(n+1)/4= (11+1)/4= 3$和 $p_3 =3*(n+1)/4=3*(11+1)/4= 9$。

• 因此得到分位数分别为 $Q_1=$ 6（件）和 $Q_3=$ 15（件）。

（示例）：未分组数据计算中位数

案例说明：继续前面案例数据，假设增加另1名工人的日产量数据：

 W1  W2  W3  W4  W5  W6  W7  W8  W9 W10 W11 W12 
 22   2   7   5   6   8  12   9  10  16  15  20

解题过程：我们注意到数据样本量 $(n+1)/4=$ 3，不是整数。

• 对原始数据进行排序（由小到大）：

 W2  W4  W5  W3  W6  W8  W9  W7 W11 W10 W12  W1 
  2   5   6   7   8   9  10  12  15  16  20  22

• 再确定分位数的位置，其中且 分割点为： $p_1 =(n+1)/4= (11+1)/4= 3.25$和 $p_3 =3*(n+1)/4=3*(11+1)/4= 9.75$。

• 得到分位数分别为 $Q_1=(6+7)/2=6.5$（件）和 $Q_3=(15+16)/2=15.5$（件）。

四分位数计算：单项式数列

单项式数列的四分位数计算，主要步骤如下：

第一步：计算累计频次表。

第二步：确定1/4和3/4分割点位置 $p_1 =\frac{\sum{f_i}}{4}$和 $p_3 =\frac{3\sum{f_i}}{4}$。

第三步：观察比较分割点位置和累计频次，确定得到两个分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

（示例）：单项式数列计算四分位数

案例说明：继续前面甲城市家庭住房评价案例数据，请你计算出相应的两个四分位数？

四分位数计算：组距式数列

组距式数列的四分位数计算，主要步骤如下：

• 第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。

• 第二步：再确定1/4和3/4分割点位置 $p_1 =\frac{\sum{f_i}}{4}$和 $p_3 =\frac{3\sum{f_i}}{4}$。

• 第三步：根据计算的位置，找到该分割点位置所在组，初步确定四分位数 $Q_1$和 $Q_3$。

• 第四步：利用合适的插值公式，近似计算得到更为“精确”的中位数数值 $Q_1$和 $Q_3$。

（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(定义)

• $Q_{j}$表示四分位数，其中 $j \in 1,3$。 $X_{Q_jL}$表示组下限（Lower limits）； $X_{Q_jU}$表示组上限（Upper limits）。 $d_{Q_j}$表示分位数组的组距（width）； $x_j$表示待求解的组距部分。
• $f_{i}$表示各组所对应的频次，其中 $i \in 1,2,\cdots,5$。 $f_{Q_j}$表示分位数组的频次 $p_j$表示1/4或3/4分割位置，其中： $p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}$， $p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}$。
• $S_{Q_j-1}$表示相应分位数所在组的前一组的较小累计频次； $y_j$表示与 $x_j$宽度相对应频次。

（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(Q1)

• 四分之一位数的较小制下限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}} =\frac{p_1-S_{Q_1-1}}{f_{Q_1}} \quad \Rightarrow \quad Q_{1L}=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{\frac{\sum f_i}{4}-S_{Q_{1}-1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \end{align}$$

（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(Q3)

• 四分之三位数的较小制下限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}} =\frac{p_3-S_{Q_3-1}}{f_{Q_3}} \quad \Rightarrow \quad Q_{3L}=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{\frac{3\sum f_i}{4}-S_{Q_{3}-1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \end{align}$$

（示例）较小制分位数计算：粗略结果

（示例）较小制分位数计算：下限插值公式

含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： $\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56$。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 $\sim$ 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(情景)

计算情形：只给出较小制累计次数，而且初步已知 $Q_1$和 $Q_3$的粗略位置（如图中所示分别为第2组和第4组）。请精确计算 $Q_1$和 $Q_3$的值。

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(Q1)

• 四分之一位数的较小制上限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}} =\frac{S_{Q_1}-p_1}{f_{Q_1}} \quad \Rightarrow \quad Q_{1U}=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{S_{Q_{1}}-\frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \end{align}$$

（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(Q3)

• 四分之三位数的较小制上限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}} =\frac{S_{Q_3}-p_3}{f_{Q_3}} \quad \Rightarrow \quad Q_{3U}=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{S_{Q_3}- \frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \end{align}$$

（示例）较小制分位数计算：上限插值公式

（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(定义)

• $Q_{j}$表示四分位数，其中 $j \in 1,3$。 $X_{Q_jL}$表示组下限（Lower limits）； $X_{Q_jU}$表示组上限（Upper limits）。 $d_{Q_j}$表示分位数组的组距（width）； $x_j$表示待求解的组距部分。
• $f_{i}$表示各组所对应的频次，其中 $i \in 1,2,\cdots,5$。 $f_{Q_j}$表示分位数组的频次 $p_j$表示1/4或3/4分割位置，其中： $p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}$， $p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}$。
• $S_{Q_j}$表示相应分位数所在组的较大累计频次； $y_j$表示与 $x_j$宽度相对应频次。

（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(Q1)

• 四分之一位数的较大制下限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}} =\frac{S_{Q_1} - p_3}{f_{Q_1}} \quad \Rightarrow \quad Q_{1L}=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{S_{Q_1}- \frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \end{align}$$

（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(Q3)

• 四分之三位数的较大制下限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}} =\frac{S_{Q_3}- p_1}{f_{Q_3}} \quad \Rightarrow \quad Q_{3L}=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{S_{Q_3} -\frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \end{align}$$

（示例）较大制分位数计算：粗略结果

注意：^*较大制下，分位数分割位置要调换！

（示例）较大制分位数计算：下限插值公式

含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： $\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56$。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 $\sim$ 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。

（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(定义)

• $Q_{j}$表示四分位数，其中 $j \in 1,3$。 $X_{Q_jL}$表示组下限（Lower limits）； $X_{Q_jU}$表示组上限（Upper limits）。 $d_{Q_j}$表示分位数组的组距（width）； $x_j$表示待求解的组距部分。
• $f_{i}$表示各组所对应的频次，其中 $i \in 1,2,\cdots,5$。 $f_{Q_j}$表示分位数组的频次。 $p_j$表示1/4或3/4分割位置，其中： $p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}$， $p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}$。
• $S_{Q_j+1}$表示相应分位数所在组的下一组的较大累计频次； $y_j$表示与 $x_j$宽度相对应频次。

（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(Q1)

• 四分之一位数的较大制上限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}} =\frac{p_3-S_{Q_1}}{f_{Q_1}} \quad \Rightarrow \quad Q_{1U}=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{\frac{3\sum f_i}{4} - S_{Q_{1}+1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \end{align}$$

（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(Q3)

• 四分之三位数的较大制上限插值公式：

$$\begin{align} \frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}} =\frac{p_1- S_{Q_3+1}}{f_{Q_3}} \quad \Rightarrow \quad Q_{3U}=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{\frac{\sum f_i}{4} -S_{Q_3+1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \end{align}$$

（示例）较大制分位数计算：上限插值公式

含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： $\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56$。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 $\sim$ 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。

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平均数：概念与定义

平均数：是对数据的中心的一种数值化测量指标。

我们一般所说的平均数是指样本均值。

• 根据总体数据（population）计算的，则称为总体期望（expectation），记为 $\mu$；读作miu。

• 根据样本数据（sample）计算的，则称为样本平均数，也称为均值（Mean），记为 $\bar{X}$，读作X bar。

平均数：特征与类型

平均数的特征：

• 集中趋势的最常用测度值，是一组数据的均衡点（中心点）所在

• 体现了数据的必然性特征，易受极端值的影响

平均数的类型：

• 算术平均数，记为 $\bar{X}$。具体又分为：

a. 简单算数平均数 $\bar{X}=\frac{\sum{X_i}}{n}$； b. 加权算数平均数 $\bar{X}=\frac{\sum{(f_iX_i)}}{\sum{f_i}}$。

• 调和平均数，记为 $\bar{X}_H$。

• 几何平均数，记为 $\bar{X}_G$。

算术平均数：概念

设样本量为 $n$的样本数据来自于一个总体（总体数据量为 $N$）。

下面我们重点谈样本平均数的计算和分析！

算数平均数：基本公式

样本算术平均数具体包括两类：

• 简单算数平均数

$$\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$$

• 加权算数平均数

简单算术平均数的计算

适合情形：未分组资料

计算规则：将各总体单位的标志值简单相加，除以总体单位数所求得的结果。

计算公式：

$$\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$$ 计算示例：某单位有8名职工，周工资分别为1200元、1400元、1500元、1600元、1650元、1700元、1750元和1800元，则8名职工平均工资为：

$$\begin{align} \bar{X} &=\frac{\sum X}{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots \ldots+X_{n}}{n} \\ &=\frac{1200+1400+1500+1600+1650+1700+1750+1800}{8} \\ &=1575(\text { 元 }) \end{align}$$

加权算术平均数：计算概述

适合情形：分组数据且各组次数不完全相同。

计算规则：各组变量值（组中值）乘以各组权数求出标志总量，再将各组权数相加求出总体单位数，二者相除计算出的结果。

一般公式：

$$\begin{equation} \bar{X}=\frac{X_{1} f_{1}+X_{2} f_{2}+\ldots \ldots+X_{k} f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\ldots \ldots+f_{k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k} X_{i} f_{i}}{\sum_{i=1}^{k} f_{i}}=\frac{\sum X f}{\sum f} \end{equation}$$

加权算术平均数：计算概述

计算类型：

• 单项式分配数列的计算

• 组距式分配数列的计算

计算要点：

• 变量值（ $X_i$）：单项式分组为组标志值；组距式分组为组中值。

• 权数（ $f_i$）：具有权衡轻重的作用。权重既可以是频数（绝对数），也可以是频率（相对数）。

（示例）加权平均数计算：单项式数列

案例说明：某工厂共有105个工人，全体工人的日产量（ $X$，件/日）经过分组统计后（ $G1 \sim G6$），各组工人人数（ $n$）的数据如下表所示。请计算全体工人的平均日产量是多少？

说明：可参看之前的单项式数列中位数计算-工人日产量案例

（示例）加权平均数计算：单项式数列

$$\begin{equation} \bar{X}=\frac{X_{1} f_{1}+X_{2} f_{2}+\ldots \ldots+X_{k} f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\ldots \ldots+f_{k}}=\frac{810}{105}=7.71(件/人) \end{equation}$$

（示例）加权平均数计算：组距式数列

案例说明：某工厂共有164个工人，全体工人的日产量（X）经过分组统计后（ $G1 \sim G7$），各组工人人数（f）的分布数据如下表所示。请计算全体工人的平均日产量是多少千克？

说明：可参看之前的组距式数列中位数计算-工人日产量案例

（示例）加权平均数计算：组距式数列（频次）

$$\begin{equation} \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i \cdot f_i)}{\sum_{i=1}^n f_i}=\frac{13550}{164}=82.62(\text { 千克 }) \end{equation}$$

（示例）加权平均数计算：组距式数列（频率）

$$\begin{equation} \bar{X}=\sum_{i=1}^n{(X_i\cdot w_i)}=\sum_{i=1}^n{\left( X_i \cdot \frac{f_i}{\sum{f_i}}\right)}=82.62(\text { 千克 }) \end{equation}$$

算数平均数：总结1

算数平均数 $\bar{X}$的几条性质：

• 所有的定量数据都有算术平均数。

• 计算算术平均数时使用了所有数据。

• 一组样本数据只有一个均值。

• 简单算术平均数的大小只与变量值的大小有关。

• 加权算术平均数受各组组中值（变量值）大小，以及各组变量值出现的频数（权数）的影响。

算数平均数：总结2

• 各变量值与均值的离差之和等于零。

简单算数平均数： $\sum{X_i-\bar{X}} = 0$

加权算数平均数： $\sum{\left[(X_i-\bar{X})f_i \right]} = 0$

• 各变量值与均值的离差平方和等于最小值。

简单算数平均数： $\sum{(X_i-\bar{X})^2} = min$

加权算数平均数： $\sum{\left[ (X_i-\bar{X})^2 f_i \right]} = 0$

• 根据原始数据和分组资料计算的结果一般不会完全相等，根据分组数据只能得到近似结果。

• 只有各组数据在组内呈对称或均匀分布时，根据分组资料的计算结果才会与原始数据的计算结果一致。

（示例）算数平均数：未整理数据 VS 分组整理数据

案例数据：某企业的工会随机调查了50名工人2020年6月加班的小时数，原始数据（左下）和整理数据（右下）结果分别如下：

 W1  W2  W3  W4  W5  W6  W7  W8  W9 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 
 12  14  23  15  16  24  17   9  12  13  21  17  17  16  12  24  17 
W18 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 
  5  19  13  10  14  10  11  12   7  19  16   9  21  17  14  19  19 
W35 W36 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 W46 W47 W48 W49 W50 
 19  18  18  15  13  13  12  14   9  26  21   9  13  13  19  15

调和平均数：概念和形式

调和平均数：以变量值的倒数为基础计算的平均数，即标志值的倒数的平均数的倒数，亦称倒数平均数，一般记为 $\bar{X}_H$。

表现形式：

• 逆向指标的算数平均指标的倒数形式。

• 算术平均指标的变形形式。

调和平均数：计算公式

调和平均数的理论计算公式为：

$$\begin{align} \bar{X}=\frac{\sum{(X_i f_i)}}{\sum{f_i}}=\frac{\sum{(X_i f_i)}}{\sum \left[\frac{(X_i f_i)}{X_i} \right]} =\frac{\sum{m_i}} {\sum \frac{m_i}{X_i}}=\bar{X}_{H} \end{align}$$

其中：

• $m_i=X_i \cdot f_i, f_i=\frac{m_i}{X_i}$。

• $m_i$是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量（注意不是“总体标志总量”！！！）。

（示例）调和平均数的应用场景

案例说明：设有一种蔬菜，早、中、晚的价格分别为每千克0.5元、0.2元和0.1元。第一个人早、中、晚各买1千克的菜，第二个人早、中、晚各买1元钱的菜。比较两人所卖菜的平均价格。

$$\begin{equation} \text { 平均份格 }=\frac{\text { 购买额 }}{\text { 购买量 }} \end{equation}$$

• 第一个人平均购买价格：

$$\begin{equation} \bar{X}=\frac{0.5+0.2+0.1}{1+1+1}=0.267(\text { 元 }) \end{equation}$$

• 第二个人平均购买价格：

$$\begin{equation} \bar{X_H}=\frac{1+1+1}{1 / 0.5+1 / 0.2+1 / 0.1}=\frac{3}{17}=0.18(\text { 元 }) \end{equation}$$

调和平均数的计算：主要步骤

计算步骤：

a. 先计算各个变量值的倒数 $\frac{1}{X_i}$。

b. 计算变量值的倒数的算数平均数。

c. 再计算变量值的倒数的算数平均数 的倒数。

（示例）简单调和平均数的计算：未分组数据

W1 W2 W3 W4 W5 
10 12 15 20 30

W1 W2 W3 W4 W5 
 6  5  4  3  2

（示例）加权调和平均数的计算：分组数据A

案例说明：某公司有四个企业，工作完成程度（ratio_do，%）及计划产值（value_plan）如下，请计算全部四个企业的平均工作完成程度？

分析过程：此题可以直接使用加权算术平均数公式计算。其中：工作完成程度（ratio_do）为正指标 $X_i$，计划产值（Value_plan）为权重 $f_i$。

$$\begin{equation} \bar{X}=\frac{\sum {(X_i f_i)}}{\sum {f_i}}=\frac{1100}{1000} \times 100\%=110 \% \end{equation}$$

（示例）加权调和平均数的计算：分组数据B

案例说明：某公司有四个企业，工作完成程度（ratio_do，%）及实际产值（value_do）如下，请计算全部四个企业的平均工作完成程度？

分析过程：此题需要使用加权调和平均数公式计算。其中：工作完成程度（ratio_do）为正指标 $X_i$，实际产值（Value_do）为特殊权重 $m_i$。

$$\begin{equation} \bar{X}==\frac{\sum m_i}{\sum \left(\frac{1}{X_i} m_i \right)}=\frac{1100}{1000} \times 100 \%=110 \% \end{equation}$$

调和平均数：总结

• 如果数列中有一标志值等于零，则无法计算调和平均数。

• 较之算术平均数，调和平均数受极端值的影响要小。

几何平均数：概念与类型

几何平均数（Geometric Mean）：对 $n$个变量值连乘之积开 $n$次方根，主要用于计算平均速度和平均比率。

一般公式：

$$\bar{X_G} = \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} = \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^n{X_i}}}$$

适合条件：变量值为相乘关系

计算类型：

• 简单几何平均数

• 加权几何平均数

简单几何平均数的计算

（方法1）直接开根号：

$$\bar{X_G} = \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} = \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^n{X_i}}}$$

（方法2）利用反对数求解：

$$\begin{align} \bar{X_G} &= \left(\prod_{i=1}^n{X_i} \right)^{\frac{1}{n}} \\ log(\bar{X_G}) &= \frac{1}{n} \cdot log\left(\prod_{i=1}^n{X_i}\right) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \\ \bar{X_G} &= arclog\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right) = 10^{\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right)} \end{align}$$

（示例）简单几何平均数的计算

案例说明：某地区工业产品产量在2013-2018年间的产量（output，亿吨）和逐年发展速度^*（speed，%）。求该地区五年间的平均发展速度是多少？

（示例）简单几何平均数的计算

加权几何平均数的计算

（方法1）直接开根号：

$$\bar{X_G} = \sqrt[(f_1+f_2+\cdots +f_n)]{X_1^{f_1} \cdot X_2^{f_2} \cdots X_n^{f_n}} = \sqrt[\sum_{i=1}^n{f_i}]{{\prod_{i=1}^n{\left( X_i^{f_i}\right)}}}$$

（方法2）利用反对数求解：

$$\begin{align} \bar{X_G} &= \sqrt[\sum{f_i}]{\prod_{i=1}^n{\left( X_i^{f_i}\right)}} \\ log(\bar{X_G} ) &= \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i^{f_i}} \right)} = \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)}\\ \bar{X_G} &= arclog \left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right) = 10^{\left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right) } \end{align}$$

（示例）加权几何平均数的计算

案例说明：某投资银行公布了最近25年间（ $n=25$）银行年利率的逐年发展速度分组^*（speed）和每个分组利率的年数（years）。求该地区25年间的平均发展速度是多少？

（示例）简单几何平均数的计算

几何平均数：总结

• 几何平均数 $\bar{X_G}$适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值是各单位标志值的连乘积。

• 如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算几何平均数 $\bar{X_G}$。

• 受极端值的影响较算数平均数 $\bar{X}$和调和平均数 $\bar{X_H}$小。

平均数：总结1

• 位置平均数和数值平均数的图形关系：

平均数：总结2

• 位置平均数和数值平均数的卡尔·皮尔逊经验公式：

$$\begin{align} \left|\bar{X}-M_{0}\right|=3\left|\bar{X}-M_{e}\right| \end{align}$$

$$\begin{align} M_{0} =3 M_{e}-2 \bar{X}; \quad \quad \quad \bar{X}=\frac{1}{2}\left(3 M_{e}-M_{o}\right); \quad \quad \quad M_{e}=\frac{1}{3}\left(M_{o}+2 \bar{X}\right) \end{align}$$

内容导航

离散趋势概述：概念内涵

离散趋势的具体内涵有：

• 是数据分布的一个重要特征

• 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）

• 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度

• 不同类型的数据有不同的离散程度测度值

异众比率：概念和特征

异众比率（variation ratio）：是对分类数据离散程度的测度，具体表现为非众数组的频数占总频数的比例，一般记为 $V_r$。

异众比率的特征：用于衡量众数的代表性

计算公式：

$$\begin{align} V_{r}=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}} \end{align}$$

（示例）异众比率的计算

案例数据：不同品牌饮料的频数分布如下，请计算该数据集的异众比率是多少

四分位差：概念和特征

四分位差（quartile deviation）：主要用于对顺序尺度/比率尺度数据离散程度的测度，也称为内距或四分间距，它是上四分位数（四分之三位数）与下四分位数（四分之一位数）之差，一般记为 $Q_d$：

$$Q_d = Q_3 – Q_1$$

四分位差的特征：

• 反映了中间50%数据的离散程度

• 不受极端值的影响

• 用于衡量中位数的代表性

（示例）四分位差的计算：原始未整理数据

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

（示例）四分位差的计算：单项式数列

案例数据：甲城市家庭对住房状况评价的频数分布如下，请计算该数据集的四分位差是多少？

极差：概念和特征

极差（range）：是一组数据的最大值与最小值之差，一般记为 $R$，计算公式为：

$$R = Max(X_i) - Min(X_i)$$

极差的特征：

• 离散程度的最简单测度值

• 易受极端值影响

• 未考虑数据的分布

（示例）极差的计算：未整理原始数据

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

  [1] 141 143 144 149 150 152 153 153 154 155 156 158 159 160 160 161
 [17] 161 162 163 163 164 165 165 165 166 167 168 168 168 170 171 171
 [33] 172 172 172 172 172 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176
 [49] 177 177 178 178 178 179 179 179 180 180 181 182 182 183 184 185
 [65] 186 186 187 187 187 187 188 188 188 189 189 189 190 190 191 192
 [81] 194 194 195 195 196 196 196 196 196 197 197 198 198 200 201 202
 [97] 203 203 205 206 207 208 209 210 210 211 211 213 214 215 218 223
[113] 225 226 228 233 233 234 234 237

$$R = Max(X_i)- Min(X_i) =237 - 141 = 96$$

平均差：概念和特征

平均差（mean deviation）：是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，一般记为 $M_d$。计算公式根据数据情况分为：

平均差的特征：

• 能全面反映一组数据的离散程度。

• 数学性质较差，实际中应用较少。

（示例）平均差的计算：原始未整理数据1

案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的四分位差是多少？

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

（示例）平均差的计算：原始未整理数据2

解题步骤：

  [1] 49.43 41.57  2.43 23.57 34.57 43.43 31.57 18.57 30.57 10.57
 [11] 28.57 18.43 25.57 13.43 24.57 32.57 23.57 22.57 21.57 11.43
 [21] 20.57 41.43 19.57 19.57  2.43 43.57 29.43 35.57  6.57 38.43
 [31] 33.43  5.57 30.43  4.57  9.57 11.43 29.57 17.57 16.57 26.43
 [41] 16.57 14.57  4.57 13.57 48.43 12.57 25.43 12.57 12.57  9.43
 [51] 11.57 11.43 10.57 19.57  9.57 48.43  9.57  5.43 22.43  8.57
 [61]  1.57 40.43  6.57 49.43 31.57  5.57 40.57  5.57  3.43 12.57
 [71]  3.57  2.57  2.57  7.57  0.57  0.43  1.43  1.43  6.57  2.43
 [81] 52.43  2.43 20.43  3.43  7.57  4.43 24.43  4.43  5.43  9.57
 [91]  6.43 11.57  9.43  4.43 10.43 10.43 21.57 11.43  8.57 11.43
[101] 24.57 12.43 12.43 10.57 13.43 15.43 16.43 17.43 26.57 18.43
[111]  3.43 21.43 13.57 23.43  7.43 25.43 16.57 26.43 12.57 28.43

（示例）平均差的计算：组距分组数据1

案例数据：A同学将某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的原始数据，并进行如下的组距式分组统计。其中f表示落在各组的天数。请计算该数据集的平均差是多少？

（示例）平均差的计算：组距分组数据2

解题步骤：具体计算表见下一页ppt。

• 计算各组组中值M： $M_i$，以及组中值与权重的乘积Mf： $M_if_i$。然后计算得出均值： $\bar{X}=\frac{\sum{M_if_i}}{\sum{f_i}}=185$。

• 计算得到离中心差demean： $M_i-\bar{X}$，及其绝对值abs_demean $|M_i-\bar{X}|$。

• 计算离中心差与权重的乘积demean_f： $(M_i-\bar{X})f_i$，及其绝对值abs_demean_f： $|(M_i-\bar{X})|f_i$

• 最后，利用公式计算加总项，进一步计算得到平均差。

$$\begin{align} M_{\mathrm{d}} =\frac{\sum_{i=1}^{k}\left(\left|M_{i}-\bar{X}\right| f_{i}\right)}{\sum{f_i}} = \frac{2040}{120} = 17 \end{align}$$

• 含义：与销售量平均数相比，日销售量之间平均相差17台。

（示例）平均差的计算：组距分组数据3

方差和标准差：概念和特征

方差（variance）和标准差（standard deviation）：是数据离散程度的最常用测度指标，反映了各变量值与均值的平均差异。

• 根据总体数据计算的，称为总体方差（记为 $\sigma^2$）以及总体标准差（记为 $\sigma^2$）。

• 根据样本数据计算的，称为样本方差（记为 $S^2$）以及样本标准差（记为 $S$）。

（示例）计算：原始未整理数据1

案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的样本方差和样本标准差分别是多少？

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

（示例）计算：原始未整理数据2

解题步骤：

• 计算数据集的均值： $\bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n} = 184.57$。

• 计算所有数据的离中心差： $X_i -\bar{X}$，及其平方项 $(X_i -\bar{X})^2$。

• 计算离中心差平方项的求和项 $\sum_{i=1}^{n}\left((X_{i}-\bar{X})^2\right) = 55935.47$。

• 最后利用公式计算得到样本方差和样本标准差：

• 含义：日销售量平均数为185台，日销售量与平均数之间的一个标准差为22台。

（示例）计算：组距分组数据1

案例数据：A同学将某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的原始数据，并进行如下的组距式分组统计。其中f表示各组的天数。请计算该数据集的样本方差和样本标准分别是多少？

（示例）计算：组距分组数据2

解题步骤：具体计算表见下一页ppt。

• 计算各组组中值M： $M_i$，以及组中值与权重的乘积Mf： $M_if_i$。然后计算得出分组数据的均值： $\bar{X}=\frac{\sum{M_if_i}}{\sum{f_i}}=185$。
• 计算得到离中心差demean： $M_i-\bar{X}$，以及离中心差的平方项power2： ${(X_{i}-\bar{X})}^2f_i$，再计算离中心差平方项与权重的乘积power2_f： $(X_{i}-\bar{X})^2f_i$，然后得到求和项 $\sum_{i=1}^{n}\left((M_{i}-\bar{X})^2f_i\right)=55400$。
• 最后利用公式计算得到样本方差和样本标准差：

• 含义：日销售量平均数为185台，日销售量与平均数之间的一个标准差为22台。

（示例）计算：组距分组数据3

标准分数

标准分数（standard score）：也称标准化值，记为 $Z_i$，计算公式为：

$$Z_i=\frac{(X_i-\bar{X})}{S_{X}}$$

标准分数的特征：

• 对某一个值在一组数据中相对位置的度量。

• 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)。

• 用于对变量的标准化处理。

标准化值 $Z_i$只是将原始数据 $X_i$进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1。因此也被称为标准化变换。

变异系数：概念和作用

变异系数（coefficient of variation）：是用相对数表示的变异指标，又称标志变动系数。根据分子的不同，又具体分为：

• 全距变异系数： $V_R= \frac{R}{\bar{X}}$

• 平均差变异系数： $V_{AD}= \frac{R}{\bar{X}}$

• 标准差变异系数： $V_{S}= \frac{S}{\bar{X}}$

变异系数的作用：抽象掉标志值大小及计量单位的影响。

（示例1）计算几类变异系数

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

（示例2）计算标准差变异系数

 [1] 68 68 68 62 61 59 69 85 72 83

 [1] 16 15 17 22 12 18 23 20 21 15

内容导航

偏态及其测度

偏态（skewness）：对数据分布偏斜程度的测度^*。

偏态系数SK的特征：

注释：^* 具体定义和计算公式可以参看 第03章 3.3节内容。

偏态系数的计算

• 根据原始数据计算：

$$\begin{align} SK = \frac{n}{(n-1)(n-2)}\frac{ \sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^3}}{S_X^3} \end{align}$$

• 根据分组数据计算：

$$\begin{align} SK = \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n{\left((M_i-\bar{X})^3 \cdot f_i\right)}}{S_X^3} \end{align}$$

其中： $n$表示总次数； $f_i$表示各组次数； $M_i$表示各组组中值； $S_X$表示样本标准差 $S_X =\sqrt{\frac{\sum_1^n{(X_i- \bar{X})^2}}{n-1}}$。

（示例）偏态系数的计算：未分组原始数据1

案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的偏度系数SK是多少？

  [1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152
 [17] 161 162 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179
 [33] 215 180 175 196 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172
 [49] 172 194 173 196 174 165 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234
 [65] 153 179 144 179 188 172 181 182 182 177 184 185 186 186 178 187
 [81] 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175 191 173 194 189 195 195
 [97] 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202 158 203 188 206
[113] 171 208 192 210 168 211 172 213

（示例）偏态系数的计算：未分组原始数据2

解题步骤：

• 计算数据的均值 $\bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n}=184.5667$。

• 计算数据的样本标准差 $S_X =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(X_i- \bar{X})^2}}{n-1}}=21.6805$。

• 利用公式计算得出偏度系数SK。

$$\begin{align} SK = \frac{n}{(n-1)(n-2)}\frac{ \sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^3}}{S_X^3} =\frac{120}{(119\times 118)} \frac{540000}{10044.87} = 0.4002 \end{align}$$

（示例）偏态系数的计算：分组后组距式数据

案例数据：A同学将某电脑销售公司在4个月120天（ $n=120$）的电脑销售台数的原始数据（见前例），并进行如下的组距式分组统计。其中f表示落在各组的天数。请计算所有数据的偏度系数SK是多少？

（示例）偏态系数的计算：分组后组距式数据

解题步骤：具体计算表见下一页ppt。

• 计算各组组中值M： $M_i$，然后计算得出均值： $\bar{X}=\frac{\sum{M_if_i}}{\sum{f_i}}=185$。

• 计算得到离中心差demean： $M_i-\bar{X}$。

• 对离中心差分别计算2次方项power2： $(M_i-\bar{X})^2$和3次方项power3： $(M_i-\bar{X})^3$。以及各自幂指数项与权重f的乘积，power2_f： $(M_i-\bar{X})^2f_i$和3次方项power3_f： $(M_i-\bar{X})^3f_i$。

• 分别进行行汇总，得到各项的加总项。

• 计算出分组后数据的样本标准差 $S_X =\sqrt{\frac{\sum_1^n{(M_i- \bar{X})^2}}{n-1}}$

• 最后，利用公式进一步计算得到偏度系数SK。

$$\begin{align} SK = \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n{\left((M_i-\bar{X})^3 \cdot f_i\right)}}{S_X^3} = \frac{1}{120} \cdot \frac{540000}{10044.8673} = 0.4480 \end{align}$$

（示例）偏态系数的计算：分组后组距式数据