background-image: url("../pic/slide-front-page.jpg") class: center,middle exclude: FALSE # 统计学原理(Statistic) <!--- chakra: libs/remark-latest.min.js ---> ### 胡华平 ### 西北农林科技大学 ### 经济管理学院数量经济教研室 ### huhuaping01@hotmail.com ### 2021-05-18 <div> <style type="text/css">.xaringan-extra-logo { width: 110px; height: 70px; z-index: 0; background-image: url(../pic/logo/nwafu-logo-circle-wb.png); background-size: contain; background-repeat: no-repeat; position: absolute; top:0.2em;left:1em; } </style> <script>(function () { let tries = 0 function addLogo () { if (typeof slideshow === 'undefined') { tries += 1 if (tries < 10) { setTimeout(addLogo, 100) } } else { document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)') .forEach(function (slide) { const logo = document.createElement('div') logo.classList = 'xaringan-extra-logo' logo.href = null slide.appendChild(logo) }) } } document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo) })()</script> </div> --- class: center, middle, duke-orange,hide_logo name: chapter exclude: FALSE # 第五章 相关和回归分析 ### [5.1 变量间关系的度量](#corl) ### [5.2 回归分析的基本思想](#concept) ### [5.3 OLS方法与参数估计](#ols) ### [.white[5.4 假设检验]](#hypthesis) ### [5.5 拟合优度与残差分析](#goodness) ### [5.6 回归预测分析](#forecast) ### [5.7 回归报告解读](#report) --- layout: false class: center, middle, duke-softblue,hide_logo name: hypothesis # 5.4 假设检验 ### [两种检验方法](#hypthesis-method) ### [回归系数t检验](#hypthesis-ttest) ### [方差分解（ANOVA）](#hypthesis-anova) ### [模型整体显著性F检验](#hypthesis-ftest) --- layout: true <div class="my-header-h2"></div> <div class="watermark1"></div> <div class="watermark2"></div> <div class="watermark3"></div> <div class="my-footer"><span>huhuaping@    <a href="#chapter"> 第05章 相关和回归分析 </a>                       <a href="#hypothesis"> 5.4 假设检验 </a> </span></div> --- name: hypthesis-method ## 假设检验：原理和思路 **假设检验**（Hypothesis Testing）：某一给定的观测或发现与某声称的假设是否相符？进行统计假设检验，就是要制定一套步骤和规则，以使决定接受或拒绝一个虚拟假设（原假设）。 .pull-left[ .pa2.fl.bg-lightest-blue[ **虚拟假设**(null hypothesis) `\(H_0\)` - 指定或声称的假设，如 `\(H_0: \beta_2 = 0\)` - 它是一个等待被挑战的.red[**“靶子”**]！.red[**“稻草人”**]！ ] ] .pull-right[ .pa2.mb2.fl.bg-light-green[ **备择假设**(alter hypothesis) `\(H_1\)` - 简单备择假设 `\(H_1: \beta_2 = 1.5\)` - 复合备择假设 `\(H_1: \beta_2 \neq 1.5\)` ] ] 假设检验的具体方法： - **置信区间检验**（confidence interval） - **显著性检验**（test of significance） -- **课堂讨论**：参数的置信区间检验和显著性检验有什么区别和联系？ --- ## 假设检验：置信区间检验法（双侧检验） **双侧或双尾检验**（Two-sided or Two-Tail Test） `$$H_0: \beta_2 =0; \quad H_1: \beta_2 \neq 0$$` - 假设检验目的：估计的是否与上述相容? - 决策规则： - 构造一个 `\(\beta_2\)`的 `\(100(1-\alpha)\%\)`置信区间。 - 如果 `\(\beta_2\)`在 `\(H_0\)`假设下落入此区间，就不拒绝 `\(H_0\)`。 - 如果它落在此区间之外，就要拒绝 `\(H_0\)`。 --- exclude:true ## （示例）教育程度与时均工资 ``` Warning: `funs()` was deprecated in dplyr 0.8.0. Please use a list of either functions or lambdas: # Simple named list: list(mean = mean, median = median) # Auto named with `tibble::lst()`: tibble::lst(mean, median) # Using lambdas list(~ mean(., trim = .2), ~ median(., na.rm = TRUE)) ``` --- ### （示例）教育程度与时均工资回归 对于**斜率参数** `\(\beta_2\)`的置信区间检验法。 - **步骤1**：给出模型，并提出假设： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$` `$$H_0: \beta_2 =0.5; \quad H_1: \beta_2 \neq 0.5$$` - **步骤2**：给定 `\(\alpha=0.05,\quad (1-\alpha) 100 \%=95 \%\)` - **步骤3**：根据前述计算结果，计算斜率参数 `\(\beta_2\)`的95%置信区间为： `$$\begin{align} \hat{\beta}_{2} - t_{\alpha / 2} \cdot S_{\hat{\beta}_{2}} \quad \leq & \beta_2 \leq \quad \hat{\beta}_{2} + t_{\alpha / 2} \cdot S_{\hat{\beta}_{2}} \\ 0.5709\quad \leq & \beta_2 \quad \leq0.8772\\ \end{align}$$` - **步骤4**：那么我们可以对斜率参数 `\(\beta_2\)`做出如下检验判断：拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受 `\(H_1\)`。认为，长期来看很多个区间 [0.5709,0.8772] 有95%的可能性不包含0.5（ `\(\beta_2 \neq 0.5\)`）。 --- ### （示例）教育程度与时均工资回归 对于**截距参数** `\(\beta_1\)`的置信区间检验法。 - **步骤1**：给出模型，并提出假设： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$` `$$H_0: \beta_1 =0; \quad H_1: \beta_1 \neq 0$$` - **步骤2**：给定 `\(\alpha=0.05,\quad (1-\alpha) 100 \%=95 \%\)` - **步骤3**：根据前述计算结果，计算截距参数 `\(\beta_1\)`的95%置信区间为： `$$\begin{align} \hat{\beta}_{1} - t_{\alpha / 2} \cdot S_{\hat{\beta}_{1}} \quad \leq & \beta_1 \leq \quad \hat{\beta}_{1} + t_{\alpha / 2} \cdot S_{\hat{\beta}_{1}} \\ -1.9395\quad \leq & \beta_1 \quad \leq1.9106\\ \end{align}$$` - **步骤4**：那么我们可以对截距参数 `\(\beta_1\)`做出如下检验判断： - 不能拒绝原假设 `\(H_0\)`，暂时接受 `\(H_0\)`。认为，长期来看很多个区间[-1.9395,1.9106] 有95%的可能性包含0（ `\(\beta_1=0\)`）。 --- ## 假设检验：显著性检验法 **显著性检验方法**( test-of-significance approach)：是一种用样本结果来证实 `\(H_0\)`真伪的检验程序。 **关键思路**： - 找到一个适合的检验统计量(test statistic) 。例如t统计量 `\(\chi^2\)`统计量、F统计量等。 - 知道该统计量在 `\(H_0\)`下的抽样分布(pdf)。往往与待检验参数有关系。 - 计算样本统计量的值。也即能用样本数据快速计算出来，例如 `\(t^{\ast}_{\hat{\beta_2}}=\frac{\hat{\beta}_2}{S_{\hat{\beta}_2}}\)`。 - 查表找出给定显著性水平 `\(\alpha\)`下的**理论统计量**的.red[**临界值**]。例如 `\(t_{1-\alpha/2}(n-2)=t_{0.975}(11)=\)` 2.2010 - 比较样本统计量值和该临界值的大小。例如，比较 `\(t^{\ast}_{\hat{\beta_2}}\)`与 `\(t_{0.975}(11)\)` - 做出拒绝还是接受 `\(H_0\)`的判断。 --- name: hypthesis-ttest ## 假设检验：截距参数的t检验 对于截距参数 `\(\beta_1\)`的显著性检验（t检验）。 - **步骤1**：给出模型，并提出假设： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$` `$$H_0: \beta_1 =0; \quad H_1: \beta_1 \neq 0$$` - **步骤2**：构造合适的检验统计量 `$$\begin{align} T&=\frac{\hat{\beta}_{1}-\beta_{1}}{S_{\hat{\beta}_{1}}} && \leftarrow T \sim t(n-2) \end{align}$$` --- ## 假设检验：截距参数的t检验 - **步骤3**：基于原假设 `\(H_0\)`计算出样本统计量。 `$$\begin{align} \\ T&=\frac{\hat{\beta}_{1}-\beta_{1}}{S_{\hat{\beta}_{1}}} && \leftarrow T \sim t(n-2) \\ t^{\ast}_{\hat{\beta}_1}&=\frac{\hat{\beta}_{1}}{S_{\hat{\beta}_{1}}} && \leftarrow H_0: \beta_1 = 0 \\ t^{\ast}_{\hat{\beta}_1}&= \frac{-0.0145}{0.8746}=-0.0165 \end{align}$$` - **步骤4**：给定显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，查出统计量的**理论分布值**。 > `\(t_{1-\alpha/2}(n-2)=t_{1-0.05/2}(13-2)=t_{0.975}(11)=\)` 2.2010 --- ## 假设检验：截距参数的t检验 - **步骤5**：得到显著性检验的判断结论。 - 若 `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_1}| > t_{1-\alpha/2}(n-2)\)`，则 `\(\beta_1\)`的t检验结果**显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，应**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受备择假设 `\(H_1\)`，认为截距参数 `\(\beta_1 \neq 0\)`。 - 若 `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_1}| < t_{1-\alpha/2}(n-2)\)`，则 `\(\beta_1\)`的t检验结果**不显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，不能**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，只能暂时接受原假设 `\(H_0\)`，认为截距参数 `\(\beta_1 = 0\)`。 本例中， `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_1}|=\)` 0.0165 .red[**小于**] `\(t_{0.975}(11)=\)` 2.2010。因此，认为 `\(\beta_1\)`的t检验结果**不显著**。 换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，不能**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，只能暂时接受原假设 `\(H_0\)`，认为截距参数 `\(\beta_1 = 0\)`。 --- ## 假设检验：斜率参数的t检验 对于斜率参数 `\(\beta_2\)`的显著性检验（t检验）。 - **步骤1**：给出模型，并提出假设： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$` `$$H_0: \beta_2 =0; \quad H_1: \beta_2 \neq 0$$` - **步骤2**：构造合适的检验统计量 `$$\begin{align} T&=\frac{\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}}{{S_{\beta_{2}}}} && \leftarrow T \sim t(n-2) \end{align}$$` --- ## 假设检验：斜率参数的t检验 - **步骤3**：基于原假设 `\(H_0\)`计算出样本统计量。 `$$\begin{align} \\ T&=\frac{\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}}{S_{\hat{\beta}_{2}}} && \leftarrow T \sim t(n-2) \\ t^{\ast}_{\hat{\beta}_2}&=\frac{\hat{\beta}_{2}}{S_{\hat{\beta}_{2}}} && \leftarrow H_0: \beta_2 = 0 \\ t^{\ast}_{\hat{\beta}_2}&= \frac{0.7241}{0.0696}=10.4064 \end{align}$$` - **步骤4**：给定显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，查出统计量的**理论分布值**。 > `\(t_{1-\alpha/2}(n-2)=t_{1-0.05/2}(13-2)=t_{0.975}(11)=\)` 2.2010 --- ## 假设检验：斜率参数的t检验 - **步骤5**：得到显著性检验的判断结论。 - 若 `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_2}| > t_{1-\alpha/2}(n-2)\)`，则 `\(\beta_2\)`的t检验结果**显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，应**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受备择假设 `\(H_1\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 \neq 0\)`。 - 若 `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_2}| < t_{1-\alpha/2}(n-2)\)`，则 `\(\beta_2\)`的t检验结果**不显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，不能**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，只能暂时接受原假设 `\(H_0\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 = 0\)`。 本例中， `\(|t^{\ast}_{\hat{\beta}_2}|=\)` 10.4064 .red[**大于**] `\(t_{0.975}(11)=\)` 2.2010。因此，认为 `\(\beta_2\)`的t检验结果**显著**。 换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，应**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受备择假设 `\(H_1\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 \neq 0\)`。 --- ## 假设检验：显著性水平VS显著性概率 我们可以回顾犯错误类型： - 第I类错误：弃真错误 `\(\alpha = P(Z > Z_0|H_0=True)\)` - 第II类错误：取伪错误 `\(\beta = P(Z \leq Z_0|H_1=True)\)` - [给定样本容量时]如果我们要减少犯第I 类错误， 第II类错误就要增加；反之亦然。 为什么选择显著性水平 `\(\alpha\)`通常固定在0.01、0.05、0.1水平上？ - 约定而已，并非神圣不可改变！ - 如何改变？？ --- ## 假设检验：显著性水平VS显著性概率 精确的显著性概率水平p值： - 对给定的样本算出一个检验统计量(如t统计量)，查到与之对应的概率：p值(p value)或概率值(probability value) - 不约定 `\(\alpha\)`，而是直接求出犯错误概率p值，由读者自己去评判犯错误的可能性和代价！！因人而异！！ --- ## 假设检验：实际操作中的若干问题 关于**统计显著性**与**实际显著性**。 - 不能一味追求统计显著性，有时候还需要考虑“实际显著性”的现实意义。 - 举例说明： - 边际消费倾向(MPC)是指GDP每增加1美元带来消费的增加数；宏观理论表明收入乘数为：1/(1-MPC)。 - 若MPC的95%置信区间为(0.7129,0.7306)，当样本表明MPC的估计值为 `\(\widehat{MPC}=0.74\)`（此时，即乘数为3.84），你怎样抉择！！！ 关于**置信区间方法**和**显著性检验方法**的选择。 - 一般来说，置信区间方法优于显著性检验方法！ - 例如：假设MPC `\(H_0: \beta_2 =0\)`显然荒谬的！ --- name: hypthesis-anova ## 方差分解（ANOVA）：Y变异的分解 <img src="../pic/extra/chpt2-1-PRL-SRL.png" width="65%" style="display: block; margin: auto;" /> `$$\begin{alignedat}{2} &&(Y_i - \bar{Y}) &&= (\hat{Y}_i - \bar{Y}) &&+ (Y_i - \hat{Y}_i ) \\ &&y_i &&= \hat{y}_i &&+ e_i \end{alignedat}$$` --- ## 方差分解（ANOVA）：平方和分解 `$$\begin{alignedat}{2} &&(Y_i - \bar{Y}) &&= (\hat{Y}_i - \bar{Y}) &&+ (Y_i - \hat{Y}_i ) \\ &&y_i &&= \hat{y}_i &&+ e_i \\ &&\sum{y_i^2} &&= \sum{\hat{y}_i^2} &&+ \sum{e_i^2} \\ &&TSS &&=ESS &&+RSS \end{alignedat}$$` - 其中： `\(TSS\)`表示**总离差平方和**; `\(ESS\)`表示**回归平方和**; `\(RSS\)`表示**残差差平方和** --- ### （附录）：平方和分解证明过程 `$$\begin{align} \sum{y_i^2} &= \sum{(\hat{y}_i e_i)^2} \\ &= \sum{(\hat{y}_i^2 +2\hat{y}_ie_i +e_i^2)}\\ &= \sum{\hat{y}_i^2 } +2\sum{\hat{y}_ie_i} + \sum{e_i^2}\\ &= \sum{\hat{y}_i^2 } +2\sum{\left( \hat{(\beta_2}x_i)e_i \right)} + \sum{e_i^2}\\ &= \sum{\hat{y}_i^2 } +2\hat{\beta_2}\sum{\left( x_ie_i \right)} + \sum{e_i^2} && \leftarrow \left[ \sum{x_ie_i} =0 \right]\\ &= \sum{\hat{y}_i^2} + \sum{e_i^2} \end{align}$$` --- ## 方差分解（ANOVA）：双变量分解表 对于一元线性回归（双变量），方差分解的理论值如下： <table class="table" style="font-size: 22px; margin-left: auto; margin-right: auto;"> <thead> <tr> <th style="text-align:center;"> 变异来源 </th> <th style="text-align:center;"> 平方和符号SS </th> <th style="text-align:center;"> 平方和计算公式 </th> <th style="text-align:center;"> 自由度df </th> <th style="text-align:center;"> 均方和符号MSS </th> <th style="text-align:center;"> 均方和计算公式 </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:center;"> 回归平方和 </td> <td style="text-align:center;"> ESS </td> <td style="text-align:center;"> \(\sum{(\hat{Y}_i-\bar{Y}_i)^2}=\sum{\hat{y}_i^2}\) </td> <td style="text-align:center;"> 1 </td> <td style="text-align:center;"> \(MSS_{ESS}\) </td> <td style="text-align:center;"> \(ESS/df_{ESS}=\hat{\beta}_2^2\sum{x_i^2}\) </td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;"> 残差平方和 </td> <td style="text-align:center;"> RSS </td> <td style="text-align:center;"> \(\sum{(Y_i-\hat{Y}_i)^2}=\sum{e_i^2}\) </td> <td style="text-align:center;"> n-2 </td> <td style="text-align:center;"> \(MSS_{RSS}\) </td> <td style="text-align:center;"> \(RSS/df_{RSS}=\frac{\sum{e_i^2}}{n-2}\) </td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;"> 总平方和 </td> <td style="text-align:center;"> TSS </td> <td style="text-align:center;"> \(\sum{(Y_i-\bar{Y}_i)^2}=\sum{y_i^2}\) </td> <td style="text-align:center;"> n-1 </td> <td style="text-align:center;"> \(MSS_{TSS}\) </td> <td style="text-align:center;"> \(TSS/df_{TSS}=\frac{\sum{y_i^2}}{n-1}\) </td> </tr> </tbody> </table> --- name: hypthesis-ftest ## 模型整体显著性检验：F检验 - **步骤1**：给出模型，并提出假设： 一元回归模型下： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$` `$$H_0: \beta_2 =0; \quad H_1: \beta_2 \neq 0$$` .pa2.fl.bg-lightest-blue[ 多元回归模型下： `$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_{2i} + \beta_3X_{3i}+ \cdots + \beta_kX_{ki}+ u_i$$` `$$H_0: \beta_2 = \beta_3 =\cdots= \beta_k= 0; \quad H_1: \text{not all} \quad \beta_j = 0, \quad j \in 2, 3, \cdots, k$$` ] --- ## 模型整体显著性检验：F检验 - **步骤2**：构造合适的检验统计量 `$$\begin {align} \chi^2_1 &= \left( \frac{\hat{\beta}_{2}-\beta_{2} }{\sigma_{\hat{\beta_2}}}\right)^2 = \left( \frac{\hat{\beta}_{2}-\beta_{2} }{\sqrt{\sigma^{2}/\sum x_{i}^{2}}}\right)^2=\frac{\left(\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}\right)^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sigma^{2}} &&\leftarrow \chi^2_1 \sim \chi^2(1) \end {align}$$` `$$\begin {align} \chi^2_{2}&=(n-2) \frac{\hat{\sigma}^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{\sum e_{i}^{2}}{\sigma^{2}} && \leftarrow \chi^2_2 \sim \chi^2(n-2) \end {align}$$` `$$\begin {align} F &= \frac{\chi^2_1/1}{\chi^2_2/n-2} = \left( \frac{\left(\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}\right)^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sigma^{2}} \right ) / \left( \frac{\sum e_{i}^{2}}{(n-2)\sigma^{2}} \right) =\frac{\left(\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}\right)^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sum e_{i}^{2} /(n-2)}\\ F & \sim F(1,n-2) \end {align}$$` --- ## 模型整体显著性检验：F检验 - **步骤3**：基于原假设 `\(H_0\)`计算出样本统计量。 `$$\begin {align} F^{\ast} &= \frac{\left(\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}\right)^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sum e_{i}^{2} /(n-2)} &&\leftarrow H_0: \beta_2=0 \\ & = \frac{\hat{\beta}_{2}^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sum e_{i}^{2} /(n-2)}\\ & = \frac{ESS / df_{ESS}}{RSS / df_{RSS}} =\frac{MSS_{ESS}}{MSS_{RSS}} =\frac{\hat{\beta}_{2}^{2} \sum x_{i}^{2}}{\hat{\sigma}^{2}} \end {align}$$` --- ## 模型整体显著性检验：F检验 - **步骤4**：给定显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，查出统计量的**理论分布值**。 `\(F_{1-\alpha}(1,n-2)\)` - **步骤5**：得到显著性检验的判断结论。 - 若 `\(F^{\ast} > F_{1-\alpha}(1,n-2)\)`，则 模型整体显著性的F检验结果**显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，应**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受备择假设 `\(H_1\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 \neq 0\)`。 - 若 `\(F^{\ast} < F_{1-\alpha}(1,n-2)\)`，则 模型整体显著性的F检验结果**不显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，不能**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，只能暂时接受原假设 `\(H_0\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 = 0\)`。 --- ## 模型整体显著性检验：比较 F检验与t检验的**联系**： - 在一元回归模型中，t检验与F检验的结论总是一致的。 - 对于检验斜率参数 `\(\beta_2\)`的显著性，两者可相互替代！在一元回归分析中，若假设 `\(H_0:\beta_2=0\)`，则 `\(F^{\ast} \simeq (t^{\ast})^2\)` F检验与t检验的**不同**： - 检验目的不同。F检验是检验模型的整体显著性；t检验是检验各个回归参数的显著性。 - 假设的提出不同： - F检验：斜率系数联合假设 `\(H_0: \beta_2 =0; \quad H_1: \beta_2 \neq 0\)` - t检验：回归系数分别假设 `\(H_0: \beta_i =0; \quad H_1: \beta_i \neq 0; \quad i \in 1,2\)` - 检验原理的不同：F检验需要构造F统计量；t检验需要构造t统计量 --- ### （案例）教育程度与时均工资：计算ANOVA表 根据前述理论计算公式，可以算出具体的ANOVA分析表： <table> <caption>教育程度与时均工资案例的ANOVA分析表</caption> <thead> <tr> <th style="text-align:center;"> 变异来源 </th> <th style="text-align:center;"> 平方和SS </th> <th style="text-align:center;"> 自由度df </th> <th style="text-align:center;"> 均方和MSS </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:center;"> 回归平方和ESS </td> <td style="text-align:center;"> 95.4 </td> <td style="text-align:center;"> 1 </td> <td style="text-align:center;"> 95.42 </td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;"> 残差平方和RSS </td> <td style="text-align:center;"> 9.7 </td> <td style="text-align:center;"> 11 </td> <td style="text-align:center;"> 0.88 </td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;"> 总平方和TSS </td> <td style="text-align:center;"> 105.1 </td> <td style="text-align:center;"> 12 </td> <td style="text-align:center;"> 7.09 </td> </tr> </tbody> </table> --- ### （案例）教育程度与时均工资：F检验 - **步骤1**：给出模型 `\(Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i\)`，提出假设： `\(H_0: \beta_2 =0; \quad H_1: \beta_2 \neq 0\)` - **步骤2**：构造合适检验的分布： `$$\begin {align} F &= \frac{\left(\hat{\beta}_{2}-\beta_{2}\right)^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sum e_{i}^{2} /(n-2)} && \leftarrow F \sim F(1,n-2) \end {align}$$` - **步骤3**：基于原假设 `\(H_0: \beta_2=0\)`，可以计算出样本统计量。 `$$\begin {align} F^{\ast} = \frac{\hat{\beta}_{2}^{2} \sum x_{i}^{2}}{\sum e_{i}^{2} /(n-2)} = \frac{ESS / df_{ESS}}{RSS / df_{RSS}} =\frac{MSS_{ESS}}{MSS_{RSS}} =\frac{95.4253}{0.8812}=108.2924 \end {align}$$` --- ### （案例）教育程度与时均工资：F检验 - **步骤4**：给定 `\(\alpha=0.05\)`下，查出F**理论值** `\(F_{1-\alpha}(1,n-2)=F_{0.95}(1,11)=\)` 4.8443 - **步骤5**：得到显著性检验的判断结论。因为 `\(F^{\ast}=\)` 108.2924 .red[**大于**] `\(F_{0.95}(1,11)=\)` 4.8443，所以模型整体显著性的F检验结果**显著**。换言之，在显著性水平 `\(\alpha=0.05\)`下，应**显著**地拒绝原假设 `\(H_0\)`，接受备择假设 `\(H_1\)`，认为斜率参数 `\(\beta_2 \neq 0\)`。 --- layout:false background-image: url("../pic/thank-you-gif-funny-little-yellow.gif") class: inverse,center # 本节结束