05-06-reg-forecast.utf8

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# 统计学原理(Statistic)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2021-05-18

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
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  let tries = 0
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    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
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  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
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</div>

---

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name: chapter
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# 第五章 相关和回归分析

### [5.1 变量间关系的度量](#corl)

### [5.2 回归分析的基本思想](#concept)

### [5.3 OLS方法与参数估计](#ols)

### [5.4 假设检验](#hypthesis)

### [5.5 拟合优度与残差分析](#goodness)

### [.white[5.6 回归预测分析]](#forecast)

### [5.7 回归报告解读](#report)

---
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name: forecast

# 5.6 回归预测分析

### [.white[回归预测]](#forecast-basic)

### [.white[均值预测]](#forecast-mean)

### [.white[个值预测]](#forecast-ind)

### [.white[置信带]](#forecast-band)

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter"> 第05章 相关和回归分析 </a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#forecast"> 5.6 回归预测分析 </a> </span></div>

---
name: forecast-basic

## 回归预测：引子

预测未来事件的一些惯常说法

- 算命术士：

- “客官印堂发黑，明日必有凶象!”

- 天气预报播报词：

- 预测西安明天是小雨，概率为95%。
    
    - 预测西安明天是小雨转阴，概率为95%。
    
    - 预测西安明天是天晴或阴天或雨天，概率为100%！

- 简要解析：
    
    - 人们在预测什么事件？
    
    - 预测多少个事件？它们发生的关系？
    
    - 预测如何令人信服？

---

## 回归预测：两类预测

一元回归模型下：

`$$Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i +u_i$$`

预测什么？

**均值预测**(mean prediction)：

- 给定
`$X_0$`，预测Y的条件均值
`$E(Y|X=X_0)$`

**个值预测**(individual prediction)：

- 给定
`$X_0$`，预测对应于
`$X0$`的Y的个别值
`$(Y_0|X_0)$`

---

### （示例）样本内预测

---

### （示例）样本外预测

---

### （示例）均值预测

---

### （示例）个值预测

---
exclude:true

## （案例）教育程度与时均工资

```
Warning: `funs()` was deprecated in dplyr 0.8.0.
Please use a list of either functions or lambdas:

# Simple named list: 
  list(mean = mean, median = median)

# Auto named with `tibble::lst()`: 
  tibble::lst(mean, median)

# Using lambdas
  list(~ mean(., trim = .2), ~ median(., na.rm = TRUE))
```

---

## 回归预测：预测分析的关键

拿什么来预测？——样本数据？样本回归线？样本拟合值？

样本外拟合值
`$\hat{Y}_0|X=X_0$`：

- 可以证明：样本外拟合值
  `$\hat{Y}_0|X=X_0$`是**均值**
  `$E(Y|X=X_0)$`的一个.blue[**BLUE**]

- 也可以证明：样本外拟合值
  `$\hat{Y}_0|X=X_0$`是**个值**
  `$(Y_0|X=X_0)$`的一个.blue[**BLUE**]

.fl.w-100-pa2.bg-lightest-blue[
工资案例中，给定
`$X_0=20$`，则可以得到样本外拟合值：

`$$\begin{align}
\hat{Y}_{0}&=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{0}\\
&=-0.01 + 0.72 \times 20\\
&=14.4675
\end{align}$$`

]

---

## 回归预测：预测分析的关键

---
name: forecast-mean

## 均值预测

在**N-CLRM**假设和**OLS**方法下，可以证明（证明过程略）给定
`$X_0$`下的拟合值
`$\hat{Y}_0$`服从如下正态分布：

`$$\begin {align} 
\hat{Y}_{0} \sim \mathrm{N}\left(\mu_{\hat{Y}_{0}}, \sigma_{\hat{Y}_{0}}^{2}\right)
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\mu_{\hat{Y}_{0}}=E\left(\hat{Y}_{0}\right)=E\left(\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{0}\right)=\beta_{1}+\beta_{2} X_{0}=E(Y | X_{0})
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\operatorname{var}\left(\hat{Y}_{0}\right)=\sigma_{\hat{Y}_{0}}^{2}=\sigma^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]
 \end {align}$$`

`$$\begin {align} 
\hat{Y}_{0} \sim N\left(E(Y | X_{0}), \sigma^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]\right)
\end {align}$$`

---

## 均值预测

对
`$\hat{Y}_{0}$`构造**t统计量**：

`$$\begin {align} 
T &=\frac{\hat{Y}_{0}-\mathrm{E}(\mathrm{Y} | \mathrm{X}_{0})}{S_{\hat{Y}_{0}}} \sim t(n-2)
&& \Leftarrow S_{\hat{Y}_{0}}=\sqrt{\hat{\sigma}^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]}
\end {align}$$`

得到**均值**
`$E(Y|X=X_0)$`置信区间为：

`$$\begin {align} 
\operatorname{Pr}\left[\hat{Y}_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}} \leq E(Y | X_{0}) \leq \hat{Y}_{0}+t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}}\right]=1-\alpha
\end {align}$$`
 
`$$\begin {align} 
\operatorname{Pr}\left[\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}} \leq E(Y | X_{0}) \leq \hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}}\right]=1-\alpha
\end {align}$$`

---

### （案例）教育程度和时均工资：均值预测

给定
`$X_0=$` 20时，根据早前计算结果：
`$\hat{\sigma}^2=$` 0.8812；
`$\bar{X}=$` 12.0000；
`$\sum{x_i^2}=$` 182.0000。因此可以得到：

`\begin{align}
S^2_{\hat{Y}_{0}} &=\hat{\sigma}^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right] 
=0.8812\left( \frac{1}{13}+\frac{(20-12)^2}{182}\right)
=0.3776; \quad
S_{\hat{Y}_{0}} = \sqrt{S^2_{\hat{Y}_{0}}}=0.6145
\end{align}`

`\begin{align}
\hat{Y}_{0}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{0}
=-0.0145+0.7241\ast20
=14.4675
\end{align}`

因此，可以计算得到**均值**
`$E(Y|X=20)$`置信区间为：

`\begin{align}
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}} \leq  & E(Y | X_{0}) \leq \hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}} \\
14.4675-1.7959\ast0.6145\leq & E(Y|X_0=20)\leq14.4675+1.7959\ast0.6145
\\
13.3639\leq & E(Y|X_0=20)\leq15.5711
\end{align}`

---

### （案例）教育程度和时均工资：均值预测

---
name:forecast-ind

## 个值预测

在**N-CLRM**假设和**OLS**方法下，可以证明（证明过程略）给定
`$X_0$`下的个别值
`$Y_0=\beta_1+\beta_2X_0 +u_0$`服从如下正态分布：

`$$\begin {align} 
Y_{0} &\sim \mathrm{N}\left(\mu_{Y_{0}}, \sigma_{Y_{0}}^{2}\right) \\
\mu_{Y_{0}}&=E\left(Y_{0}\right)=E\left(\beta_{1}+\beta_{2} X_{0}\right)=\beta_{1}+\beta_{2} X_{0} \\
Var(Y_{0}) &=Var{(u_0)}=\sigma^{2}
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
Y_{0} \sim N\left(\beta_{1}+\beta_{2} X_{0}, \sigma^{2} \right)
\end {align}$$`

---

## 个值预测

进一步可以构造新的随机变量
`$(Y_0-\hat{Y}_0)$`，其将服从如下正态分布：

`$$\begin {align} 
Y_{0} & \sim N\left(\beta_{1}+\beta_{2} X_{0}, \sigma^{2} \right)\\
\hat{Y}_{0} & \sim N\left( \beta_{1}+\beta_{2} X_{0}, \sigma^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]\right) 
\end {align}$$`

`$$\begin {align} 
Y_{0} - \hat{Y}_{0} & \sim N\left( 0, \sigma^{2}\left[1 + \frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]\right) \\
Y_{0} - \hat{Y}_{0} & \sim N\left( 0, \sigma^{2}_{Y_{0} - \hat{Y}_{0}} \right)
\end {align}$$`

---

## 个值预测

对
`$Y_{0} - \hat{Y}_{0}$`构造**t统计量**：

`$$\begin {align} 
T &=\frac{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}{S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}} \sim t(n-2)
&& \Leftarrow S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}
=\sqrt{\hat{\sigma}^{2}\left[1+\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]}
\end {align}$$`

得到**个值**
`$Y_{0}$`置信区间为：

`$$\begin {align} 
\operatorname{Pr}\left[\hat{Y}_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} \leq Y_{0} \leq \hat{Y}_{0}+t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}\right]=1-\alpha
\end {align}$$`
 
`$$\begin {align} 
\operatorname{Pr}\left[\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} 
\leq Y_{0} \leq 
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}\right]=1-\alpha
\end {align}$$`

---

### （案例）教育程度和时均工资：个值预测

给定
`$X_0=$` 20时，根据早前计算结果：
`$\hat{\sigma}^2=$` 0.8812；
`$\bar{X}=$` 12.0000；
`$\sum{x_i^2}=$` 182.0000。因此可以得到：

`\begin{align}
S^2_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} &=\hat{\sigma}^{2}\left[1+\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right] 
=0.8812\left( 1+ \frac{1}{13}+\frac{(20-12)^2}{182}\right)
=1.2588
\\
S_{\hat{Y}_{0}} &= \sqrt{S^2_{\hat{Y}_{0}}}=1.122
\end{align}`

`\begin{align}
\hat{Y}_{0}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{0}
=-0.0145+0.7241\ast20
=14.4675
\end{align}`

因此，可以计算得到**个值**
`$(Y_0|X=20)$`置信区间为：

`\begin{align}
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} \leq  & Y_0 | X=X_0) \leq \hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} \\
14.4675-1.7959\ast1.122\leq & Y_0|X_0=20)\leq14.4675+1.7959\ast1.122
\\
12.4525\leq & Y_0|X_0=20)\leq16.4824
\end{align}`

---

### （案例）教育程度和时均工资：个值预测

---
name:forecast-band

## 置信带

**置信带**(confidence interval)：对所有的X值，分别进行**均值**和**个值**分别进行预测，就能得到：

- 均值预测的置信带——总体回归函数的置信带

- 个值预测的置信带

- 预测如何可信？
    
    - 均值预测置信区间
    
    - 均值预测置信带

- 样本内置信带。——检验可靠性

- 样本外置信带。——预测未来值范围

---

## 置信带

---

## 置信带

---

## 置信带

如何理解置信带？

- 谁更宽？——均值预测更准确

- 何处最窄？—— 中心点
`$(\bar{X}, \bar{Y})=$` (12,8.67)是历史信息的集中代表。

---

## 回归预测：总结与思考

**内容总结**：

- 回归预测基于一套坚实严密的“底座”：OLS估计方法、CLRM假设、BLUE估计性质

- 均值预测置信带和个值预测置信带，是对预测可信度的形象表达。

- （同等条件下）均值预测比个值预测更准确（置信带宽窄）

**课堂思考**：

- 同样是95%置信度区间，两个人的认识是一样的么？

**课后作业**：工资与教育案例扩展

- 请计算置信度
`$100(1−\alpha)=95\%$`下，
`$X_0=20$`时均值的置信区间。
与
`$100(1−\alpha)=90\%$`时相比，有什么差异？

- 99%更值得可信么？

---
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# 本节结束