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# 统计学原理(Statistic)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2021-05-26

<div>
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---

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# 第七章 指数

### [7.1 基本概述](#index-principal)

### [7.2 总指数编制方法](#index-make)

### [7.3 指数体系](#index-system)

### [7.4 几种典型的指数](#index-life)

---
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# 7.1 基本概述

### 指数概念

### 指数分类

### 指数编制中的问题

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter"> 第07章 指数 </a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#index-principal"> 7.1 基本问题 </a> </span></div>

---

## 指数概念：含义

**指数(index number)**：最早起源于测量物价的变动，是测定多项内容数量综合变动的相对数。

- 指数的实质是测定多项内容。

> 例如，零售价格指数反映的是零售市场几百万种商品价格变化的整体状况

- 指数的表现形式为动态相对数。

> 既然是动态相对数，就涉及到指标的基期对比，不同要素基期的选择就成为指数方法需要讨论的问题。

编制指数的方法就是围绕上述两个问题展开的

---

## 指数分类A

按考察对象可以分为:

- **个体指数**：反映单一项目的变量变动。

> 如一种商品的价格或销售量的变动

- **总指数**：反映多个项目变量的综合变动。

> 如多种商品的价格或销售量的综合变动

---

## 指数分类B

按计算形式可以分为:

- **简单指数(simple index number)**：计入指数的各个项目的重要性视为相同。

- **加权指数(weighted index number)**：计入指数的项目依据重要程度赋予不同的权数

---

## 指数分类C

按指标性质可以分为:

- **数量指数**：反映物量变动水平。

> 如产品产量指数、商品销售量指数等

- **质量指数**:反映事物内含数量的变动水平。

> 如价格指数、产品成本指数等

---
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# 7.2 总指数编制方法

### 简单指数

### 加权指数

---
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---

## 指数编制中的问题

- 选择项目：选择代表规格品

- 确定权数：利用已有的信息构造权数；主观权数

- 计算方法：确定适当的方法

---

## 简单指数

- **简单综合指数**

`$$\begin{align}
I_{p}=\frac{\sum p_{1}}{\sum p_{0}}; \quad 
I_{q}=\frac{\sum q_{1}}{\sum q_{0}}
\end{align}$$`

- **简单平均指数**

`$$\begin{align}
I_{p}=\frac{\sum \frac{p_{1}}{p_{0}}}{n}; \quad I_{q}=\frac{\sum \frac{q_{1}}{q_{0}}}{n}
\end{align}$$`

---

## 加权指数：同度量因素

**同度量因素**”：指把不能相加的指标过渡为可以相加的因素。

> 例如，社会商品零售价格总指数，单价不能简单相加，以商品销售量为同度量因素，过渡为商品销售额。

**同度量因素**”作用：

- 同度量作用

- 权数作用

`$$\begin{align}
商品销售额 & =商品销售量 \times 价格 \\
工业总产值&=工业总产量\times 价格
\end{align}$$`

---

## 加权指数：同度量因素

“同度量因素”的确定，可以通过如下方法：

1.根据现象之间的联系确定同度量因素

- 计算数量指数时，应以相应的质量为同度量因素

- 计算质量指数时，应以相应的物量为同度量因素

2.确定同度量因素的所属时期

- 可以都是基期，也可以都是报告期

- 使用不同时期的同度量因素，计算结果和意义不同

- 取决于计算指数的预期目的

---

## 加权指数

**加权综合指数**(weighted aggregative index number)：是通过加权来测定一组项目的综合变动。

根据权数不同，有不同的计算公式：

- **拉氏指数**(Laspeyres index)：数量指数和质量指数

- **帕氏指数**(Paasche Laspeyres index)：数量指数和质量指数

---

## 加权指数：拉氏综合指数

**拉氏综合指数**：1864年德国学者拉斯贝尔斯(Laspeyres)提出的一种价格指数计算方法。

该方法在计算一组商品综合指数时，把**权数**固定在**基期**（0期）。

具体计算公式为：

.pull-left[
- .red[拉氏]**数量指数**：
.large[
`$I_{q(L)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}$`
]
]

.pull-right[

- .red[拉氏]**质量指数**：
.large[
`$I_{{p(L)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}$`

]
]

> 其中：
- 
`$I_q$`代表数量指数；
`$I_p$`代表质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。

---
exclude: true

## 指数计算案例

---

### （案例）企业产品综合指数

**案例说明**：某企业生产三种不同的产品，报告期和基期的产量和出厂价格如下表所示。

<table>
<caption>企业生产信息表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:left;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:right;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:right;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:right;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:right;"> 价格$p_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:left;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2,200 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:left;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:right;"> 400 </td>
   <td style="text-align:right;"> 420 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:left;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请使用拉氏公式分别计算该企业总产值的数量指数
`$I_q$`和质量指数
`$I_p$`？

---

### （案例）企业产品综合指数：拉氏数量指数

<table>
<caption>拉氏数量指数计算表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_0$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,200 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

根据拉氏**数量**综合指数的计算方法，以及上述计算表，可得到：

`$$\begin{align}
I_{q(L)} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}
 =\frac{8732000}{7456000} 
 = 1.1711
 = 117.11 \%
\end{align}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.11%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(L) = 8732000-7456000=1276000$`

---

### （案例）企业产品综合指数：拉氏质量指数

<table>
<caption>拉氏质量指数计算表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_0$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,200 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

根据拉氏**质量**综合指数的计算方法，以及上述计算表，可得到：

`$$\begin{align}
I_{{p(L)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}
 =\frac{8216000}{7456000} 
 = 1.1019
 = 110.19 \%
\end{align}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.19%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(L) = 8216000-7456000=760000$`

---

## 加权指数：帕氏综合指数

**拉氏综合指数**：1874年德国学者帕煦(Pasche)所提出一种指数计算方法。

该方法在计算一组商品综合指数时，把**权数**固定在**报告期**（1期）。

具体计算公式为：

.pull-left[
- .red[帕氏]**数量指数**：
.large[
`$I_{q(P)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}$`
]
]

.pull-right[

- .red[帕氏]**质量指数**：
.large[
`$I_{{p(P)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}$`

]
]

> 其中：
- 
`$I_q$`代表数量指数；
`$I_p$`代表质量指数；
`$(P)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。

---

### （案例）企业产品综合指数：帕氏数量指数

<table>
<caption>帕氏数量指数计算表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,200 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

根据帕氏**数量**综合指数的计算方法，以及上述计算表，可得到：

`$$\begin{align}
I_{q(P)} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}
 =\frac{9620000}{8216000} 
 = 1.1709
 = 117.09 \%
\end{align}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.09%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(P) = 9620000-8216000=1404000$`

---

### （案例）企业产品综合指数：帕氏质量指数

<table>
<caption>帕氏质量指数计算表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_0$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,200 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

根据帕氏**质量**综合指数的计算方法，以及上述计算表，可得到：

`$$\begin{align}
I_{{p(P)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}
 =\frac{9620000}{8732000} 
 = 1.1017
 = 110.17 \%
\end{align}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.17%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(L) = 9620000-8732000=888000$`

---

## 加权指数：拉氏和帕氏指数对比

.pull-left[
.bg-lightest-blue[

.red[拉氏]**数量指数**：
`$I_{q(L)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}$`

.red[拉氏]**质量指数**：
`$I_{{p(L)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}$`

]
]

.pull-right[

.bg-light-green[
.purple[帕氏]**数量指数**：
`$I_{q(P)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}}$`

.purple[帕氏]**质量指数**：
`$I_{p(P)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}$`

]

---

## 加权指数：加权平均指数

**加权平均指数**：是指以某一时期的总量指标为权数对**个体指数**进行加权平均得到的相对数。具体又分为**加权算数平均指数**和**加权调和平均指数**。

- **个体指数**：包括个体数量指数
`$k_q(i) = \frac{q_{1i}}{q_{0i}}$`；以及个体质量指数
`$k_p(i) = \frac{p_{1i}}{p_{0i}}$`。

- **加权数**：

<div class="fyi">
<p>A.加权数通常是两个有内在联系变量间的乘积。例如：</p>
<ul>
<li><p>商品销售额(销售价格与销售量的乘积)；</p></li>
<li><p>农产品总产量(单位面积产量与收获面积的乘积)</p></li>
</ul>
<p>B.加权数可以是同期变量的乘积，也可以混合时期变量的乘积：</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">$f_{00}=q_{0i}p_{0i}; \quad f_{11}=q_{1i}p_{1i}$</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">$f_{01}=q_{0i}p_{1i}; \quad f_{10}=q_{1i}p_{0i}$</span></p></li>
</ul>
</div>

---

## 加权指数：加权算数平均指数A（拉氏数量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-green[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{q}(L)}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{1i}}{\boldsymbol{q}_{0i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{q_i} \cdot \boldsymbol{f}_{00}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{00}} 
=\boldsymbol{A}_{q(L)} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-smile.jpg)其中：
- 
`$A_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$A_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{00}=q_{0i}p_{0i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权算数平均指数B（拉氏质量）

.pull-left[
.bg-lightest-blue[ .large[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{p}(L)}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{1i}}{\boldsymbol{p}_{0i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{p_i} \cdot \boldsymbol{f}_{00}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{00}} 
=\boldsymbol{A}_{p(L)} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-normal.jpg)其中：
- 
`$A_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$A_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{00}=q_{0i}p_{0i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权算数平均指数C（帕氏数量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-yellow[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{q(P)}}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{1i}}{\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{0i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{q_i} \cdot \boldsymbol{f}_{\text {01}}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{01}} =\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{q(P)}} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-cry.jpg)其中：
- 
`$A_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$A_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{01}=q_{0i}p_{1i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权算数平均指数D（帕氏质量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-pink[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{p(P)}}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{1i}}{\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{0i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{p_i} \cdot \boldsymbol{f}_{10}\right)}{\sum \boldsymbol{f}_{10}}
=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{p(P)}} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-normal.jpg)其中：
- 
`$A_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$A_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{10}=q_{1i}p_{0i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权算数平均指数（小结）

.large[

<table>
<caption>基于个体指数计算加权算数平均指数的情形</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 计算类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 指数类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 序号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 公式代号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体指数k </th>
   <th style="text-align:center;"> 权重f </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> A </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_q(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{00}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> B </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_P(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{00}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> C </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_q(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{01}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> D </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_p(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{10}$ </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

]

> 其中：
- 
`$A_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$A_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 权重
`$\boldsymbol{f}_{00},\boldsymbol{f}_{01},\boldsymbol{f}_{11},\boldsymbol{f}_{10}$`。例如
`$\boldsymbol{f}_{10}=q_{1i}p_{0i}$`。

---

### （案例）情景A：基于个体产量指数计算拉氏数量指数(数据)

**案例A说明**：某企业生产三种不同的产品，基期产值
`$q_0p_0$`和个体产量指数
`$k_q$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景A（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 基期产值$q_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品产量变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景A：基于个体产量指数计算拉氏数量指数(解答)

**案例A解答**：因为案例仅仅给出了基期产值
`$q_0p_0$`和个体产量指数
`$k_q$`，因此需要使用**拉氏加权算数平均数量指数**公式
`$A_q(L)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 基期总产值$f_{00}=q_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $k_q*f_{00}$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{q(L)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{1i}}{\boldsymbol{q}_{0i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{q_i} \cdot \boldsymbol{f}_{00}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{00}}
= \frac{8732000}{7456000}
= 1.1711
= 117.11\%
\end{aligned}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.11%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(L) = 8732000-7456000=1276000$`

---

### （案例）情景B：基于个体价格指数计算拉氏质量指数(数据)

**案例B说明**：某企业生产三种不同的产品，基期产值
`$q_0p_0$`和个体价格指数
`$k_p$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景B（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 基期产值$q_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品价格变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景B：基于个体价格指数计算拉氏质量指数(解答)

**案例B解答**：因为案例仅仅给出了基期产值
`$q_0p_0$`和个体产量指数
`$k_p$`，因此需要使用**拉氏加权算数平均质量指数**公式
`$A_p(L)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 基期产值$f_{00}=q_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $k_p*f_{00}$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{p(L)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{1i}}{\boldsymbol{p}_{0i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{p_i} \cdot \boldsymbol{f}_{00}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{00}} 
= \frac{8216000}{7456000}
= 1.1019
= 110.19\%
\end{aligned}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.19%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(L) = 8216000-7456000=760000$`

---

### （案例）情景C：基于个体产量指数计算帕氏数量指数(数据)

**案例C说明**：某企业生产三种不同的产品，记录了
`$q_0p_1$`和个体产量指数
`$k_q$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景C（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品产量变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景C：基于个体产量指数计算帕氏数量指数(解答)

**案例C解答**：因为案例仅仅给出了
`$q_0p_1$`和个体产量指数
`$k_q$`，因此需要使用**帕氏加权算数平均数量指数**公式
`$A_q(P)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{01}=q_0p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $k_q*f_{01}$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{q(P)}} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{1i}}{\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{0i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{q_i} \cdot \boldsymbol{f}_{\text {01}}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{01}}
= \frac{9620000}{8216000}
= 1.1709
= 117.09\%
\end{aligned}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.09%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(P) = 9620000-8216000=1404000$`

---

### （案例）情景D：基于个体价格指数计算帕氏数量指数(数据)

**案例D说明**：某企业生产三种不同的产品，以及
`$q_1p_0$`和个体价格指数
`$k_p$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景D（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品价格变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景D：基于个体价格指数计算帕氏数量指数(解答)

**案例D解答**：因为案例仅仅给出了
`$q_1p_0$`和个体产量指数
`$k_p$`，因此需要使用**帕氏加权算数平均质量指数**公式
`$A_p(P)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{10}=q_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $k_p*f_{10}$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{p(P)}} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{1i}}{\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{0i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{k}_{p_i} \cdot \boldsymbol{f}_{10}\right)}{\sum \boldsymbol{f}_{10}}
= \frac{9620000}{8732000}
= 1.1017
= 110.17\%
\end{aligned}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.17%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(P) = 9620000-8732000=888000$`

---

## 加权指数：加权调和平均指数E（拉氏数量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-yellow[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{q}(L)}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{0i}}{\boldsymbol{q}_{1i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{10}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{q_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{10}\right)} 
=\boldsymbol{H}_{q(L)} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-normal.jpg)其中：
- 
`$H_q$`代表加权调和平均数量指数；
`$H_p$`代表加权调和平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{10}=q_{1i}p_{0i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权调和平均指数F（拉氏质量）

.pull-left[
.bg-light-pink[ .large[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{p}(L)}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{0i}}{\boldsymbol{p}_{1i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{01}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{p_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{01}\right)} 
=\boldsymbol{H}_{p(L)} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-cry.jpg)其中：
- 
`$H_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$H_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{10}=q_{0i}p_{1i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权调和平均指数G（帕氏数量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-yellow[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{q(P)}}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{0i}}{\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{1i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{11}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{q_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{11}\right)} 
=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{q(P)}} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-normal.jpg)其中：
- 
`$H_q$`代表加权算数平均数量指数；
`$H_p$`代表加权算数平均质量指数；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{11}=q_{1i}p_{1i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权调和平均指数H（帕氏质量）

.pull-left[ .large[
.bg-light-green[
`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{p(P)}}  &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)} \\
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{0i}}{\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{1i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} \\
&=\frac{\sum \boldsymbol{f}_{11}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{p_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{11}\right)}
=\boldsymbol{H}_{\boldsymbol{p(P)}} 
\end{aligned}$$`
]
]
]

.pull-right[

> ![](../mycss/img/face-smile.jpg)其中：
- 
`$H_q$`代表加权调和平均数量指数；
`$H_p$`代表加权调和平均质量指数；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 
`$\boldsymbol{f}_{11}=q_{1i}p_{1i}$`表示权重
]

---

## 加权指数：加权调和平均指数（小结）

.large[

<table>
<caption>基于个体指数计算加权调和平均指数的情形</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 计算类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 指数类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 序号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 公式代号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体指数k </th>
   <th style="text-align:center;"> 权重f </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> E </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_q(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{10}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> F </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_P(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{01}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> G </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_q(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{11}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> H </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_p(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{11}$ </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

]

> 其中：
- 
`$H_q$`代表加权调和平均数量指数；
`$H_p$`代表加权调和平均质量指数；
`$(L)$`代表拉氏计算方法；
`$(P)$`代表帕氏计算方法。
- 
`$k_q$`表示个体数量指数；
`$k_p$`表示个体质量指数。
- 
`$0$`表示基期水平；
`$1$`表示报告期水平；
`$i \in (1, 2, \cdots, n)$`表示商品。
- 权重
`$\boldsymbol{f}_{00},\boldsymbol{f}_{01},\boldsymbol{f}_{11},\boldsymbol{f}_{10}$`。例如
`$\boldsymbol{f}_{10}=q_{1i}p_{0i}$`。

---

### （案例）情景E：基于个体产量指数计算拉氏数量指数(数据)

**案例E说明**：某企业生产三种不同的产品，并记录了
`$q_1p_0$`和个体产量指数
`$k_q$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景E（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品产量变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景E：基于个体产量指数计算拉氏数量指数(解答)

**案例E解答**：因为案例仅仅给出了报告期产值
`$q_1p_0$`和个体产量指数
`$k_q$`，因此需要使用**拉氏调和算数平均数量指数**公式
`$H_q(L)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{10}=q_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{10}/k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{H}_{q(L)}  
= \frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{0i}}{\boldsymbol{q}_{1i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{0i}\right)\right]} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{10}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{q_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{10}\right)} 
= \frac{8732000}{7456000}
= 1.1711
= 117.11\%
\end{aligned}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.11%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(L) = 8732000-7456000=1276000$`

---

### （案例）情景F：基于个体价格指数计算拉氏质量指数(数据)

**案例F说明**：某企业生产三种不同的产品，并记录了
`$q_0p_1$`和个体价格指数
`$k_p$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景F（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品价格变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景F：基于个体价格指数计算拉氏质量指数(解答)

**案例F解答**：因为案例仅仅给出了报告期产值
`$q_0p_1$`和个体产量指数
`$k_p$`，因此需要使用**拉氏加权算数平均质量指数**公式
`$A_p(L)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{01}=q_0p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{01}/k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,000,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,440,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,456,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{H}_{p(L)} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{0i}}{\boldsymbol{p}_{1i}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{0i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{01}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{p_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{01}\right)} 
= \frac{8216000}{7456000}
= 1.1019
= 110.19\%
\end{aligned}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.19%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(L) = 8216000-7456000=760000$`

---

### （案例）情景G：基于个体产量指数计算帕氏数量指数(数据)

**案例G说明**：某企业生产三种不同的产品，记录了
`$q_1p_1$`和个体产量指数
`$k_q$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景G（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 报告期总产值$q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品产量变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景G：基于个体产量指数计算帕氏数量指数(解答)

**案例G解答**：因为案例仅仅给出了
`$q_1p_1$`和个体产量指数
`$k_q$`，因此需要使用**帕氏加权调和平均数量指数**公式
`$H_q(P)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{11}=q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体产量指数$k_q$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{11}/k_q$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.05 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,600,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 16,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,216,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{q(P)}} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{q}_{0i}}{\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{1i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} 
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{f}_{11}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{q_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{11}\right)} 
= \frac{9620000}{8216000}
= 1.1709
= 117.09\%
\end{aligned}$$`

因为产品产量增加，使得产值增加了117.09%，实现了产值增加额
`$\Delta_q(P) = 9620000-8216000=1404000$`

---

### （案例）情景H：基于个体价格指数计算帕氏质量指数(数据)

**案例H说明**：某企业生产三种不同的产品，报告期产值
`$q_1p_1$`和个体价格指数
`$k_p$`如下表所示。

<table>
<caption>案例情景H（数据表）</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 报告期总产值$q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请分析并计算由于产品价格变动，带来的企业总产值变动的指数？

---

### （案例）情景H：基于个体价格指数计算帕氏质量指数(解答)

**案例H解答**：因为案例仅仅给出了报告期产值
`$q_1p_1$`和个体产量指数
`$k_p$`，因此需要使用**帕氏加权调和平均质量指数**公式
`$H_p(P)$`。

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{11}=q_1p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体价格指数$k_p$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $f_{11}/k_p$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,920,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7,200,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,680,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1,512,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;"> 9,620,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> NA </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,732,000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$$\begin{aligned}
\boldsymbol{H}_{\boldsymbol{p(P)}}
=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^n\left[\left(\frac{\boldsymbol{p}_{0i}}{\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{1i}}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{q}_{1i} \boldsymbol{p}_{1i}\right)\right]} 
=\frac{\sum \boldsymbol{f}_{11}}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\boldsymbol{k}_{p_i}} \cdot \boldsymbol{f}_{11}\right)}
= \frac{9620000}{8732000}
= 1.1017
= 110.17\%
\end{aligned}$$`

因为产品出厂价格变动，使得产值增加了110.17%，实现了产值增加额
`$\Delta_p(P) = 9620000-8732000=888000$`

---

## 加权指数：公式总结

.large[

<table>
<caption>基于个体指数计算加权平均指数的情形</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 计算类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 指数类别 </th>
   <th style="text-align:center;"> 序号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 公式代号 </th>
   <th style="text-align:center;"> 个体指数k </th>
   <th style="text-align:center;"> 权重f </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> A </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_q(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{00}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> B </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_P(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{00}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> C </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_q(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{01}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权算数 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> D </td>
   <td style="text-align:center;"> $A_p(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{10}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> E </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_q(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{10}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> F </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_P(L)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{01}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 数量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> G </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_q(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_q$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{11}$ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 加权调和 </td>
   <td style="text-align:center;"> 质量指数 </td>
   <td style="text-align:center;"> H </td>
   <td style="text-align:center;"> $H_p(P)$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $k_p$ </td>
   <td style="text-align:center;"> $f_{11}$ </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

]

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: index-system

# 7.3 指数体系

### 概念和应用

### 总量指数体系变动分析

### 平均数指数体系变动分析

---
layout: true

---

## 概念和应用

**指数体系**：统计上把这些互相联系的指数所构成的体系，叫做指数体系。

指数体系的应用：

- 指数体系是因素分析法的基础。

- 利用指数体系，还可进行指数因素之间的互相换算。

<div class="notes">
<p><strong>总变动指数=因素指数的乘积</strong>，例如：</p>
<blockquote>
<ul>
<li>商品销售额=商品价格 × 商品销售量</li>
<li>生产费用支出额=单位成本 × 产品产量</li>
</ul>
</blockquote>
<blockquote>
<ul>
<li>商品销售额指数=商品价格指数 × 商品销售量指数</li>
<li>生产费用支出额指数=单位成本指数 × 产品产量指数</li>
</ul>
</blockquote>
</div>

---

## 总量指数体系变动分析：两因素分析

两因素的**相对数**关系分析：

`$$\begin{align}
K_{qp} &= K_q \times K_p \\
K_{qp} &= I_{q(L)} \times I_{p(P)} \\
\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}
\times 
\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}
\end{align}$$`

两因素的**绝对额**关系分析：

`$$\begin{align}
\left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i}p_{1i}}-{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right)
=\left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} - {\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right) + \left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} \right)
\end{align}$$`

---

### （案例）两因素变动分析：数据表

**案例说明**：某企业生产三种不同的产品，报告期和基期的产量和出厂价格如下表所示。

<table>
<caption>案例数据表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品名称 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2,200 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,600 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4,000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请合理使用指数公式，对总产值变动进行两因素（产量和出厂价格）的变动分析。

---

### （案例）两因素变动分析：解答

根据前述数据表，我们可以得到如下计算表：

---

### （案例）两因素变动分析：相对数分析

两因素的**相对数**关系分析中，我们将使用拉氏数量指数+帕氏质量指数分别进行产量和价格变动分析：

步骤1：确定分解公式

`$$\begin{align}
K_{qp} &= K_q \times K_p \\
K_{qp} &= I_{q(L)} \times I_{p(P)} 
\end{align}$$`

---

### （案例）两因素变动分析：相对数分析

步骤2：计算总指数和分解指数

`$$\begin{align}
K_{qp} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} 
 =\frac{9620000}{7456000}
= 1.2902
 = 129.02\%\\
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
I_{q(L)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}}
=\frac{8732000}{7456000}
=1.1711
=117.11\%
\end{align}$$`

`$$\begin{align}
I_{p(P)}=
\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}
=\frac{9620000}{8732000} 
=1.1017
=110.17\%
\end{align}$$`

---

### （案例）两因素变动分析：相对数分析

步骤3：相对数变动分解

`$$\begin{align}
K_{qp} &= I_{q(L)} \times I_{p(P)}  \\
129.02\% &= 117.11\% \times 
110.17\%
\end{align}$$`

---

### （案例）两因素变动分析：绝对数分析

步骤4：与之相对应，两因素的**绝对额**关系分析结果如下：

`$$\begin{align}
\left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i}p_{1i}}-{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right)
&=\left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} - {\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right) + \left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} \right) \\
\left({9620000}-{7456000} \right)
&=\left({8732000} - {7456000} \right) + \left({9620000}-{8732000} \right) \\
\left({2164000} \right)
&=\left({1276000}  \right) + \left({888000} \right)
\end{align}$$`

总产值变动额为2164000，其中因为产量因素引起的产值变动额为1276000，因为出厂价格因素引起的产值变动额为888000。

---

## 总量指数体系变动分析：多因素分析

多因素分析体系变动分析的基本原则：

- 把影响复杂总体变动的各个因素，按照数量指标在前，质量指标在后的顺序进行排列。

- 当分析某一因素对复杂总体变动的影响时，未被分析的后面诸因素要固定在基期水平，而已被分析过的前面诸因素，则要固定在报告期水平。

- 两个相邻的指标相乘必须具有实际经济意义

> 初始变量关系：
- 工业产品原材料支出额=单位产品原材料消耗×产品数量×原材料单价

> 经排列后为：
- 工业产品原材料支出额=产品数量q×单耗m×单价p

---

## 总量指数体系变动分析：多因素分析

多因素分析体系变动分析的“连锁替代法”：

> 两因素变量情形：
- 总产值=工人人数×工人劳动生产率

> 多因素变量情形：
- 总产值=(A)工人人数 × (B)时劳动生产率× (C)平均每日工作时长× (D)平均每月工作天数

`$$\begin{align}
K_{ABCD} & = K_A *K_B*K_C*K_D \\
\frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}}}
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{0} C_{0} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}}} 
\times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{0} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{0} C_{0} D_{0}}} 
\times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{0} D_{0}}} 
\times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{0}}}
\end{align}$$`

---
exclude: true

## 案例：三因素分析

---

### （案例）多因素变动分析：数据表

**案例说明**：某企业基期、报告期产量（件）、单耗和单价（元）情况表如下，请对该企业的材料总支出的变动进行多因素分析。

<table>
<caption>案例数据表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 产量$q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 单耗$m_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 单耗$m_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 价格$p_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 9.6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.8 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.4 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

### （案例）多因素变动分析：计算表

根据多因素变动分析“连锁替代”方法，我们可以首先得到如下计算表：

<table>
<caption>案例数据表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品 </th>
   <th style="text-align:center;"> 单位 </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $m_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $m_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $p_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_0m_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1m_0p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1m_1p_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> $q_1m_1p_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 甲 </td>
   <td style="text-align:center;"> 吨 </td>
   <td style="text-align:center;"> 11 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 9.6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 440 </td>
   <td style="text-align:center;"> 400 </td>
   <td style="text-align:center;"> 384 </td>
   <td style="text-align:center;"> 461 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 乙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千米 </td>
   <td style="text-align:center;"> 10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 7.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 336 </td>
   <td style="text-align:center;"> 403 </td>
   <td style="text-align:center;"> 378 </td>
   <td style="text-align:center;"> 378 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 丙 </td>
   <td style="text-align:center;"> 千块 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 60 </td>
   <td style="text-align:center;"> 75 </td>
   <td style="text-align:center;"> 88 </td>
   <td style="text-align:center;"> 77 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 合计 </td>
   <td style="text-align:center;"> - </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 836 </td>
   <td style="text-align:center;"> 878 </td>
   <td style="text-align:center;"> 850 </td>
   <td style="text-align:center;"> 916 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

### （案例）多因素变动分析：确定计算公式

**步骤1**：根据多因素变动分析“连锁替代”公式，建立如下的因素分析指标体系：

`$$\begin{align}
K_{qmp} & = K_q *K_m*K_p \\
\frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }}
&=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0} }}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }} 
\times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0} }}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0} }} 
\times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1} }}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0} }} 
\end{align}$$`

---

### （案例）多因素变动分析：总变动分析

下面分别进行总变动和因素变动的指数计算和分析。

**步骤2**：对材料支出额总指数变动进行相对数和绝对数分析

`$$\begin{align}
K_{qmp}  
= \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }} 
= \frac{915.8}{836}
= 1.0955
= 109.55\%
\end{align}$$`

因为产品产量、单耗和价格的变动，使得总支出变动了109.55%，实现了总支出变动额
`$\Delta = 915.8-836=79.8$`

---

### （案例）多因素变动分析：产量变动分析

**步骤3**：产量变动对材料支出额的影响，进行相对数和绝对数分析

`$$\begin{align}
K_{q}  
= \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }} 
= \frac{878.2}{836}
= 1.0505
= 105.05\%
\end{align}$$`

因为产品产量的变动，使得总支出变动了105.05%，实现了总支出变动额
`$\Delta_q = 878.2-836=42.2$`

---

### （案例）多因素变动分析：单耗变动分析

**步骤4**：单耗变动对材料支出额的影响，进行相对数和绝对数分析

`$$\begin{align}
K_{m}  
= \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0} }} 
= \frac{849.5}{878.2}
= 0.9673
= 96.73\%
\end{align}$$`

因为产品单耗的变动，使得总支出变动了96.73%，实现了总支出变动额
`$\Delta_m = 849.5-878.2=-28.7$`

---

### （案例）多因素变动分析：价格变动分析

**步骤5**：价格变动对材料支出额的影响，进行相对数和绝对数分析

`$$\begin{align}
K_{p}  
= \frac{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0} }} 
= \frac{915.8}{849.5}
= 1.0780
= 107.80\%
\end{align}$$`

因为产品单耗的变动，使得总支出变动了107.80%，实现了总支出变动额
`$\Delta_p = 915.8-849.5=66.3$`

---

### （案例）多因素变动分析：汇总分析

**相对数**变动分析：

`$$\begin{align}
K_{qmp} & = K_q * K_m * K_p \\
109.55\%
& = 105.05\%
\times 96.73\%
\times 107.80\%
\end{align}$$`

**绝对数**变动分析：

`$$\begin{align}
\left( {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1}}}- {\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }} \right)
&=\left( {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0} }} - {\sum\limits_{i=1}^n{q_{0} m_{0} p_{0} }} \right) \\&+  
\left( {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0} }} - {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{0} p_{0} }}  \right) \\&+ 
\left( {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{1} }}- {\sum\limits_{i=1}^n{q_{1} m_{1} p_{0} }} \right) \\
79.80 & = 42.20 + \left(
-28.70 \right)+ 
66.30
\end{align}$$`

---

## 平均数指数体系变动分析：平均数

**平均数指数**：是两个平均数直接对比形成的指数。

平均数的大小受两个因素影响：

- 各组水平
`$\overline{X_i}$`

- 各组结构
`$f_i$`

`$$\begin{align}
\overline{X}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (f_iX_i )}{\sum\limits_{i=1}^n f_i}=\sum\limits_{i=1}^n\left( \frac{f_i}{\sum\limits_{i=1}^n {f_i}} \cdot  X_i\right)
\end{align}$$`

---

## 平均数指数体系变动分析：因素分解

总变动的因素分解指数公式：

`$$\begin{align}
I_{X f}= I_f \times I_X
\end{align}$$`

.pa2.bg-light-yellow[
其中，**总变动指数**：
`$$\begin{align}
I_{X f}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{0}}=
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right)
\end{align}$$`

]

---

## 平均数指数体系变动分析：因素分解

总变动的因素分解指数公式：

`$$\begin{align}
I_{X f}= I_f \times I_X
\end{align}$$`

.pa2.bg-light-green[
其中，**结构变动指数**：
`$$\begin{align}
I_{f}=\frac{\overline{X}_{n}}{\overline{X}_{0}}=
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right)
\end{align}$$`

]

---

## 平均数指数体系变动分析：因素分解

总变动的因素分解指数公式：

`$$\begin{align}
I_{X f}= I_f \times I_X
\end{align}$$`

.pa2.bg-light-blue[

其中，**组水平变动指数**：
`$$\begin{align}
I_{X}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{n}}=
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right)
\end{align}$$`

]

---
exclude: true

## 案例：平均数指数体系

---

### （案例）平均数指数变动分析：数据表

**案例说明**：某地区生产同一产品的三个不同企业的职工人数
`$f$`（百人）和劳动生产率
`$X$`（万元/人）和资料如下表，请对**人均劳动生产率**进行因素变动分析。

<table>
<caption>案例数据表</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 产品 </th>
   <th style="text-align:center;"> 人数$f_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 人数$f_1$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 生产率$X_0$ </th>
   <th style="text-align:center;"> 生产率$X_1$ </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 一厂 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.0 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 二厂 </td>
   <td style="text-align:center;"> 50 </td>
   <td style="text-align:center;"> 50 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.5 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 三厂 </td>
   <td style="text-align:center;"> 25 </td>
   <td style="text-align:center;"> 40 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.0 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

### （案例）平均数指数变动分析：计算表

**案例解答**：工厂人数和劳动生产率会引发企业整体人均劳动生产率的变动，因此需要使用平均数指数分解，来对**人均劳动生产率**进行因素变动分析。首先得到如下 计算表：

---

### （案例）平均数指数变动分析：确定计算公式

**步骤1**：根据平均数指数体系变动分析公式，建立如下的因素分析指标体系：

`$$\begin{align}
I_{X f} & = I_f \times I_X \\
\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{0}} &= \left(\frac{\overline{X}_{n}}{\overline{X}_{0}}\right) \times
\left(\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{n}}\right)
\end{align}$$`

---

### （案例）平均数指数变动分析：总变动分析

**步骤2**：对整个企业人均劳动生产率总指数变动进行相对数和绝对数分析。

其中，**总变动指数**：

`$$\begin{align}
I_{X f}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{0}}
& =
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right) \\
& = \left( \frac{289}{110} \right) \Bigg/
\left( \frac{245}{100} \right) \\
&= 2.6273/ 2.4500
= 1.0724
= 107.24\%
\end{align}$$`

因为职工人数、劳动生产率的变动，使得整个企业人均劳动生产率变动了107.24%，实现了人均劳动生产率变动绝对数
`$\Delta =\overline{X}_1 - \overline{X}_0 = 2.6273-2.4500=0.1773$`

---

### （案例）平均数指数变动分析：职工人数结构变动分析

**步骤3**：职工人数结构对整个企业人均劳动生产率的影响，进行相对数和绝对数分析

其中，职工人数的**结构变动指数**：
`$$\begin{align}
I_{f}=\frac{\overline{X}_{n}}{\overline{X}_{0}}
&=\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right) \\
& = \left( \frac{277}{110} \right) \Bigg/
\left( \frac{245}{100} \right) \\
& = 2.5182/ 2.4500
= 1.0278
= 102.78\%
\end{align}$$`

因为职工人数结构的变动，使得整个企业**人均劳动生产率**变动了102.78%，实现了人均劳动生产率变动绝对数
`$\Delta =\overline{X}_n - \overline{X}_0 =2.5182-2.4500=0.0682$`

---

### （案例）平均数指数变动分析：劳动生产率变动分析

**步骤4**：各厂劳动生产率对整个企业人均劳动生产率的影响，进行相对数和绝对数分析。其中，各厂劳动生产率的**组水平变动指数**：

`$$\begin{align}
I_{X}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{n}}
&= \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1i}^n f_{1i}} \right) \Bigg/
\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right) \\
& = \left( \frac{289}{110} \right) \Bigg/
\left( \frac{277}{110} \right) \\
& = 2.6273/ 2.5182
= 1.0433
= 104.33\%
\end{align}$$`

因为各厂劳动生产率水平的变动，使得整个企业**人均劳动生产率**变动了104.33%，实现了人均劳动生产率变动绝对数
`$\Delta =\overline{X}_1 - \overline{X}_n =2.6273-2.5182=0.1091$`

---

### （案例）平均数指数变动分析：汇总分析

**相对数**变动分析：

`$$\begin{align}
I_{X f} &= I_f \times I_X \\
\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{0}} &= \left(\frac{\overline{X}_{n}}{\overline{X}_{0}}\right) \times
\left(\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{n}}\right) \\
107.24\%
& = 102.78\%
\times 104.33\%
\end{align}$$`

**绝对数**变动分析：

`$$\begin{align}
\left(\overline{X}_1 - \overline{X}_0 \right) & = 
\left(\overline{X}_n - \overline{X}_0 \right)  + \left(\overline{X}_1 - \overline{X}_n \right) \\
\left(2.6273- 2.4500 \right) & = 
\left(2.5182- 2.4500 \right)  + \left(2.6273- 2.5182 \right) \\
\left(0.1773 \right) 
& = \left(0.0682 \right)  + \left(0.1091 \right) 
\end{align}$$`

---
layout: false
class: center, middle, duke-softblue,hide_logo
name: index-life

# 7.4 几种典型的指数

### 零售价格指数

### 消费价格指数

### 居民消费价格指数

### 股票价格指数

---
layout: true

---

## 零售价格指数：概念和作用

**零售价格指数**(retailer price index)：是指以现金或信用卡形式支付的零售商品的价格指数。

零售价格指数的意义：

> 
- 该指数持续上升，可能带来通货膨胀上升的压力，令政府收紧货币供应，利率趋升为该国货币带来利好的支持。

中国的零售价格指数：

- 反映城乡商品零售价格变动趋势的一种经济指数

- 它的变动直接影响到城乡居民的生活支出和国家财政收入

- 是观察和分析经济活动的重要工具之一

---

## 零售价格指数：编制过程

我国零售价格指数编制过程

A.调查地区和调查点的选择（采用分层抽样）：

> 
- 调查地区按经济区域和地区分布合理等原则
- 选出具有代表性的大、中、小城市和县
- 选择经营规模大、商品种类多的上场(包括集市) 作为调查点

B.编制公式（固定权数的平均数指数）：

`$$\begin{align}
\overline{K}_p = \frac{\sum\limits_{i = 1}^n (k_{pi} \cdot w_i)}{\sum\limits_{i = 1}^n k_{pi}}
\end{align}$$`

> 其中：
`$k_{pi}$`为个体价格指数或价格类指数；
`$w_{i}$`为各层次零售额比重。

---

## 消费价格指数：概念和特点

**消费者价格指数**(consumer price index)：是对一个固定的消费品篮子价格的衡量，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况。它是一种度量通货膨胀水平的工具，以百分比变化为表达形式，一般简写为CPI。

消费者价格指数的特点：

> 
- 世界各国普遍编制的一种指数
- 我国称之为居民消费价格指数
- 可就城乡分别编制

---

## 消费价格指数：作用

消费价格指数的作用主要体现在：

- 反映货币购买力变动

`$$货币购买力指数 = \frac{1}{cpi}\times 100\%$$`

- 反映对职工实际工资的影响

`$$实际工资 = \frac{名义工资}{cpi}$$`

- 用于缩减经济序列<sup>* </sup>（剔除货币波动效应）

---
layout: false
background-size: contain
background-image: url("../pic/chpt07-cpi-demo.png")
class: center, middle, duke-orange, hide_logo

.fl.bold.w-20[
CPI编制过程与零售价格指数类似，它包括一揽子特定商品。]

---
layout: true

<div class="my-footer"><span>huhuaping@  &emsp;&emsp; <a href="#chapter"> 第07章 指数 </a>
&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;
<a href="#report"> 7.4 几种典型的指数 </a> </span></div>

---
exclude:true

## （案例）地区消费价格指数及平减

---

### （案例）消费者价格指数的计算：数据表

**案例说明**：某地区发布了2018年9月和10月的**食品类**消费价格指数统计资料：

<table>
<caption>2018年9月和10月食品价格统计资料</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> 食品类别 </th>
   <th style="text-align:left;"> 9月价格(元) </th>
   <th style="text-align:left;"> 10月价格(元) </th>
   <th style="text-align:left;"> 权数W(%) </th>
   <th style="text-align:left;"> 指数i(%) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1 粮食 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> 35 </td>
   <td style="text-align:left;"> d）___ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1.1 细粮 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> 65 </td>
   <td style="text-align:left;"> c）___ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1.1.1 面粉 </td>
   <td style="text-align:left;"> 2.84 </td>
   <td style="text-align:left;"> 3.16 </td>
   <td style="text-align:left;"> 40 </td>
   <td style="text-align:left;"> a）___ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1.1.2 大米 </td>
   <td style="text-align:left;"> 4.5 </td>
   <td style="text-align:left;"> 4.82 </td>
   <td style="text-align:left;"> 60 </td>
   <td style="text-align:left;"> b）___ </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1.2 粗粮 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> 35 </td>
   <td style="text-align:left;"> 107.6 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 2 副食品 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> 45 </td>
   <td style="text-align:left;"> 116.2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 3 其他食品 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> 20 </td>
   <td style="text-align:left;"> 112.5 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

请根据上述**食品类**价格统计资料，（1）计算表中所空缺的a）、b）、c）、d）数值。（2）利用计算结果，进一步计算该地区**食品**消费价格指数。

---

### （案例）消费者价格指数的计算：分析解答1

**案例解答**：

（1）个体指数计算公式为：
`$k_{p_i} = \frac{P_{1,i}}{P_{0,i}}$`； 固定权重的加权指数计算公式为：

`$i=\frac{\sum{k_{p_i} \cdot w_i}}{\sum{w_i}}$`。所以可以计算得出：

a）
`$i_a=k_{p_a}=100*\frac{3.16}{2.84}=$` 
111.3

b）
`$i_b=k_{p_b}=100*\frac{4.82}{4.5}=$` 107.1

c）
`$i_c=\frac{\sum{k_{p_i} \cdot w_i}}{\sum{w_i}}=\frac{i_a * 40\% +i_b * 60\% }{40\% + 60\% }=$` 108.8

d）
`$i_d=\frac{\sum{k_{p_i} \cdot w_i}}{\sum{w_i}}=\frac{i_c * 65\% +107.6 * 35\% }{65\% + 35\%}=$` 108.4

---

### （案例）消费者价格指数的计算：分析解答2

**案例解答**：

（2）固定权重的加权指数计算公式为：

`$$i=\frac{\sum{k_{p_i} \cdot w_i}}{\sum{w_i}}$$`

所以可以计算得出：

`$$i_{food}=\frac{\sum{k_{p_i} \cdot w_i}}{\sum{w_i}}=\frac{i_d * 35\% +116.2 * 45\% +112.5 * 20\% }{35\% + 45\% + 20\% }= 112.7$$`

---

### （案例）消费者价格指数平减：工人工资

.pull-left[
**案例说明**：某地区某国有企业的人均工资（元/人）情况如右表所示。

- 为了计算工人实际工资，并且使得各月份的实际工资具有可比较性。请根据上资料，以2018年6月为不变价格进行CPI平减（即以6月CPI为基准水平进行计算），计算1-10月期间工人每月的**实际**人均工资。

]

.pull-right[
<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 年月 </th>
   <th style="text-align:center;"> CPI（%,当期值） </th>
   <th style="text-align:center;"> 工资（元/人,当期值） </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 104.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3120 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 103.9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3242 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 103.1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3312 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3380 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3420 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 101.9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3456 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/7 </td>
   <td style="text-align:center;"> 99.4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3541 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 98.3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3568 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3622 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 101.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3709 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

---

### （案例）消费者价格指数平减：分析解答

**分析思路**：

第1步：把当期CPI序列（记为
`$CPI_t, \ \ t \in 1, 2, ..., 10$`）转换成以2018年6月为基准的CPI序列（记为
`$CPI_{6,t},  \ \ t \in 1, 2, ..., 10$`），计算公式为

`$$CPI_{6,t}= 100*\frac{CPI_t}{CPI_6}$$`

第2步：把当期工资（名义工资）序列（记为
`$Wage_t,  \ \ t \in 1, 2, ..., 10$`）换算成以2018年6月CPI为基准的**“实际工资”**序列（记为
`$Wage_{6,t},  \ \ t \in 1, 2, ..., 10$`）。计算公式为

`$$Wage_{6,t}=\frac{Wage_t}{CPI_{6,t}}$$`

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### （案例）消费者价格指数平减：分析解答

**计算过程**：计算过程和结果见下表

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> 年月 </th>
   <th style="text-align:center;"> CPI（%,当期值） </th>
   <th style="text-align:center;"> 工资（元/人,当期值） </th>
   <th style="text-align:center;"> CPI新序列(%,按6月计) </th>
   <th style="text-align:center;"> 工资新序列(元/人,按6月计) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 104.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3120 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3040.9 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 103.9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3242 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3178.4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 103.1 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3312 </td>
   <td style="text-align:center;"> 101.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3272.7 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3380 </td>
   <td style="text-align:center;"> 100.9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3349.9 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3420 </td>
   <td style="text-align:center;"> 100.4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3406.4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 101.9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3456 </td>
   <td style="text-align:center;"> 100 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3456 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/7 </td>
   <td style="text-align:center;"> 99.4 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3541 </td>
   <td style="text-align:center;"> 97.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3631.8 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/8 </td>
   <td style="text-align:center;"> 98.3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3568 </td>
   <td style="text-align:center;"> 96.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3697.4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/9 </td>
   <td style="text-align:center;"> 102.5 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3622 </td>
   <td style="text-align:center;"> 100.6 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3600.4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 2018/10 </td>
   <td style="text-align:center;"> 101.2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3709 </td>
   <td style="text-align:center;"> 99.3 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3735.1 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## 生产价格指数：概念和特点

**生产者价格指数**(Producer Price Index)：衡量制造商和农场主向商店出售商品的价格指数，一般简写为PPI。。

> 它主要反映生产资料的价格变化状况，用于衡量各种商品在不同生产阶段的成本价格变化情况。

生产者价格指数的特点：

- 测量在初级市场上出售的货物的价格变动的一种价格指数

- 根据每种商品在非零售市场上首次交易时的价格计算的

- 生产价格指数的上涨反映了生产者价格的提高，也将反映消费价格和生活费用未来的趋势

- 通常是按月公布

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## 股票价格指数：概念和特点

**股票价格指数**(stock price index)：反映某一股票市场上多种股票价格变动趋势的一种相对数，简称股价指数。

股票价格指数的特点：

- 其单位一般用“点”(point)表示，即将基期指数作为100，每上升或下降一个单位称为“1点”

- 计算时一般以发行量为权数进行加权综合。其公式为

`$$\begin{align}
I_{p}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (p_{1 i} q_{i})}{\sum\limits_{i=1}^n (p_{0 i} q_{i})}
\end{align}$$`

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## 股票价格指数：主要证券交易指数

世界主要证券交易所的股票价格指数

- 美国的道·琼斯指数和标准普尔指数；

- 伦敦金融时报FTSE指数；

- 法兰克福DAX指数；巴黎CAC指数；

- 瑞士的苏黎士SMI指数；

- 日本的日京指数；

- 香港的恒生指数

我国大陆的两个证券交易所

- 上交所的综合指数和180指数

- 深交所的成分股指数和综合指数

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# 本节结束