（引子）RDD典型分析：地理区隔与收入变化

（引子）RDD典型分析：地理区隔与收入变化

1.1 RDD直观解释：一句话理解

断点回归设计（Regression Discontinued Design, RDD）：

1.1 RDD直观解释：复杂一点的解释

RDD主要用于如下情形(Cattaneo and Titiunik, 2021)：

1.2 RDD相关概念：结果变量、运行变量、混淆变量

• 结果变量（output variable）：研究的目标变量，一般记为 $Y$

例如，结果变量为观测到的病人是否猝死。

• 运行变量(Runing variable)^a：是一个可以观测得到的变量。一方面它将决定被研究对象（units）是否被处置（treated）；另一方面它本身也会影响到结果变量。一般记为 $X$

例如，医生测量病人的血压，如果收缩压高于135，医生会给病人开降压药，这里病人的血压就是运行变量。

• 混淆变量(Confound variable)：是哪些不能被直接观测得到的变量，它们可能会同时影响到运行变量（进而干扰到马上要定义的处置变量）以及结果变量。一般记为 $U$

1.2 RDD相关概念：断点和处置变量

• 断点（Cutoff）：是运行变量中的一个具体取值，根据它的取值我们可以来决定对象是否需要处置。 这一取值一般记为 $X=c_0$

以血压为例，假定断点值设置为收缩压135。如果你的血压高于135，就应该吃药。 如果低于135，就无须吃药。

• 处置变量（Treatment variable）： 根据运行变量和断点值的关系，定义得到的关于是否要分配处置水平的虚拟变量。一般定义为：

$$\begin{align} D= \begin{cases} 0 \quad \text{if} \quad X< c_0 \\ 1 \quad \text{if} \quad X \geq c_0 \end{cases} \end{align}$$

例如，给定运行变量 $X$为病人血压，断点值为 $c_0=135$，那么处置变量即为是否用药。具体地，所有血压值 $\quad X \geq c_0$的病人都会进行用药处置，也即虚拟变量赋值 $D=1 \quad (\text{if} \quad X \geq c_0)$；否则就不用药，虚拟变量赋值为0。

1.2 RDD相关概念：谱宽

• 谱宽(Band width)：是断点值附近的一个邻域的区间范围的长度，一般记为 $h$，此时这个领域的区间范围定义为 $b \equiv [c_0-h, c_0 +h], \quad \text{and} \quad h >0$

1.3 RDD因果关系分析：随机控制实验

（示例）局部随机控制实验

1.3 RDD因果关系分析：断点与局部随机

a)数据生成机制DGP

b)RDD因果关系解析

• 图a)展示的是常见的数据生成机制（DGP）。因为混淆变量 $U$的存在，使得难以有效分析出处置变量 $D$对结果变量 $Y$的作用关系（影响效应）。

• 图b)展示的是在RDD框架下，研究者能够很大程度上剥离混淆变量 $U$的干扰，并有效分析出处置变量 $D$对结果变量 $Y$的作用关系（影响效应）。

1.3 RDD因果关系分析：可观测事实与反事实

可观测事实（observed facts）：在给定研究对象某种分配条件下（例如处置条件或控制条件），可以分别得到处置组对象（treated group， T）和控制组对象（controlled group, C），就能分别观测到结果变量的表现，也即可观测事实。

可观测结果（observed outcome）：此时，处置组和控制组的结果变量容易被观测得到，分别可记为 $[Y_i^1\mid D=1]$以及 $[Y_i^0\mid D=0]$

反事实（Counterfactual）：对于处置组的研究对象，如果不给它们分配处置条件，那么它们的结果变量会是如何呢？同理，对于控制组的研究对象，如果给它们分配处置条件，那么它们的结果变量又会是如何呢？显然，这些都是假想情形，实际并未发生的事实。

潜在结果（Potential outcome）：此时，处置组和控制组的结果变量不能被直接观测得到，表现为潜在结果，我们分别可记为 $[Y_i^0\mid D=1]$以及 $[Y_i^1\mid D=0]$

（示例）图形演示：可观测事实与反事实

1.3 RDD因果关系分析：可观测事实与反事实（表达式）

• 处置条件下结果变量（可观测的和潜在的）的期望：

$$\begin{align} & \equiv \mathbb{E}\left(Y_i^1\mid X_i\geq c_0\right) + \mathbb{E}(Y_i^0 \mid X_i \geq c_0) \\ & \equiv \mathbb{E}\left(Y_i^1\mid D=1\right) + \mathbb{E}(Y_i^0 \mid D=1) \\ & \equiv \mathbb{E}\left(Y^1\mid c^+\right) + \mathbb{E}(Y^0 \mid c^+) \end{align}$$

• 控制条件下结果变量（可观测的和潜在的）的期望：

$$\begin{align} & \equiv \mathbb{E}\left(Y_i^1\mid X_i < c_0\right) + \mathbb{E}(Y_i^0 \mid X_i < c_0) \\ & \equiv \mathbb{E}\left(Y_i^1\mid D=0\right) + \mathbb{E}(Y_i^0 \mid D=0) \\ & \equiv \mathbb{E}\left(Y^1\mid c^- \right) + \mathbb{E}(Y^0 \mid c^-) \end{align}$$

• 处置变量对结果变量的因果效应：

$$\begin{align} \tau &= \left[ \mathbb{E}\left(Y^1\mid c^+\right) + \mathbb{E}(Y^0 \mid c^+) \right] - \left[ \mathbb{E}\left(Y^1\mid c^- \right) + \mathbb{E}(Y^0 \mid c^-) \right] \end{align}$$

1.3 RDD因果关系分析：断点处置效应ATE（表达式）

• 处置变量对结果变量的因果效应：

$$\begin{align} \tau &= \mathbb{E}\left(Y_i\mid X_i \geq c\right) - \mathbb{E}\left(Y_i\mid X_i < c\right) \\ &= \mathbb{E}\left(Y^1_i\mid X_i \geq c\right) - \mathbb{E}\left(Y^0_i\mid X_i < c\right) \\ &= \mathbb{E}\left(Y^1_i\right) - \mathbb{E}\left(Y^0_i\right) \end{align}$$

1.3 RDD因果关系分析：断点处置效应ATE（图示）

• 潜在结果变量的条件均值为常数的情形：

1.3 RDD因果关系分析：断点处置效应ATE（图示）

• 潜在结果变量的条件均值并不是常数的情形：

1.3 RDD因果关系分析：局部断点处置效应

• 断点处置效应具有局部性特征（the local nature of RD effect）。

1.4 RDD基本假设：连续性假设

假设1：结果变量的期望值在断点处需要满足连续性假设（continuity assumption）：

• 结果变量的期望值在断点处连续，也即 $E[Y_i(1)|X_i = x]$和 $E[Y_i(0)|X_i = x]$，可是作为 $x$的函数（ $f(x)$），且在 $x=c_0$出连续。（见下图）

• 断点值 $c_0$本身需要满足外生性（exogeneity）条件。也即，断点值 $c_0$在触发处置变量D的时候，不会有其他变量在同时期来干预这种“触发行为”。

• 在上述条件下，运行变量 $X$对结果变量 $Y$将不再具有直接影响（ $X \rightarrow Y$），而是通过处置变量 $D$发生间接作用（ $X \rightarrow D \rightarrow Y$）。

• 连续性假设（continuity assumption）应该是RDD最关键的一个假设条件，而且这符合经验事实。

大自然不会跳跃！^[a] ---达尔文《物种起源》

（示例）条件期望函数CEF的连续性假设

1.4 RDD基本假设：断点性假设

假设2：被研究对象被分配（assign）处置条件（treated condition）^[1]的条件概率（Conditional Probability of Receiving Treatment） $P(D_i= 1 \mid X_i=c_0)$在断点处是不连续的（也即间断的）。

常见的处置分配概率不连续模式包括：

• 骤变不连续（Sharp discontinuity）：处置条件分配的概率在断点处被完全决定。

• 模糊不连续（Fuzzy discontinuity）：处置条件分配的概率在断点处不能被完全决定。

（示例）断点性假设：骤变（Sharp）不连续

• 处置条件的骤变（Sharp）不连续示例：小学入学年龄严格要求出生日期（ $X$）在 $c_0=9月1日$之前。

（示例）断点性假设：模糊（Fuzzy）不连续

• 处置条件的模糊（Fuzzy）不连续：小学入学年龄要求出生日期（ $X$）在 $X \in [8月1日,9月30日]$期间，家长可以自己选择孩子是否上小学。

1.5 RDD的基本过程：概览

如果暂时忽略各种细节，一个最简化的RDD分析过程包括：

• 设定断点两边对结果变量的预测模型方法（predictive model）

• 选择局部谱宽（bandwidth）

• 估计并计算因果效应

（示例）RDD的基本过程1/4：原始数据

（示例）RDD的基本过程2/4：断点两边拟合

• 这里采用了LL方法拟合局部均值（local mean）

（示例）RDD的基本过程3/4：选定一个谱宽Bandwidth

• 我们暂时不关心远离断点处的观测值（因为混淆变量会产生作用）

• 最优化的谱宽选择可以基于某些准则，例如BIC等

（示例）RDD的基本过程4/4：断点处估计因果效应

• 谱宽范围内、断点两边的估计结果，表现出了“跳跃”效果（jumps）

（引子）符号表达体系

• 结果变量 $Y$

• 运行变量 $X$，断点值 $c_0$

• 处置变量 $D$：

$$\begin{align} D= \begin{cases} 0 \quad \text{if} \quad X< c_0 \\ 1 \quad \text{if} \quad X \geq c_0 \end{cases} \end{align}$$

• 实验组对象T $(D=1)$；控制组对象C $(D=0)$

2.1 平均和断点处置效应：定义

• 当个体 $i$被分配为“处置条件”时，其结果变量为 $Y_1$为；当个体 $i$被分配为“控制条件”时，其结果变量为 $Y_0$。

• 此时，个体 $i$的处置效应(treatment effect)记为 $\theta=Y_1 -Y_0$，因为其具有随机性，也被称为随机处置效应(random treatment effect)

• 给定一个可观测的协变量 $X$（运行变量），我们可以得到个体 $i$的条件处置效应(conditional treatment effect)，并记为：

$$\theta |(X=x)=(Y_1 -Y_0)|(X=x)$$

• 对于 $X=x$处的多个个体，我们可以得到它们的条件平均处置效应（average treatment effect, ATE），并记为：

$$\theta(x) \equiv \mathbb{E}(\theta \mid X=x)$$

（示例）个体和平均处置效应

2.1 平均和断点处置效应：条件期望函数CEF

给定结果变量的条件期望函数(conditional expect function, CEF)^a如下：

$$m(x) \equiv \mathbb{E}(Y|X=x)$$

则可以分别得到控制条件和处置条件下的条件期望函数：

$$\begin{align} \begin{cases} m_0(x) = \mathbb{E}(Y_0|X=x)\\ m_1(x) = \mathbb{E}(Y_1|X=x) \end{cases} \end{align}$$

进而，我们可以把条件平均处置效应(conditional ATE)表达为：

$$\begin{align} \theta(x) &\equiv \mathbb{E}(\theta \mid X=x) \\ & = \mathbb{E}[(Y_1 -Y_0) \mid X=x] \\ & = \mathbb{E}[(Y_1\mid X=x ) -(Y_0\mid X=x)] \\ & = m_1(x) -m_0(x) \end{align}$$

（示例）条件期望函数CEF与平均处置效应

2.1 平均和断点处置效应：CEF连续性假设

结果变量的条件期望函数在断点处的连续性（continuity）假设：

给定断点值为 $x=c$，假设结果变量的条件期望函数 $m(x)$在断点处 $x=c$连续。

这也意味着在控制条件和处置条件下的条件期望函数*也在断点处是连续的。也即 $m_0(x)$和 $m_1(x)$在断点处 $x=c$连续。

2.1 平均和断点处置效应：定理

断点处置效应定理：给定处置分配规则为 $D=1\{X \geq c\}$，而且假定结果变量满足断点处的连续性假设，也即结果变量的条件期望函数 $m(x)$在断点处 $x=c$连续，那么断点处置效应为：

$$\bar{\theta}=\lim_{z \downarrow c} m(z) - \lim_{z \uparrow c} m(z)=m(c+)-m(c-)$$

2.1 平均和断点处置效应：证明

证明：首先，我们进一步定义结果变量：

$$\begin{align} Y \equiv Y_0 \cdot\mathbb{1}\{x<c\} + Y_1 \cdot\mathbb{1}\{x\geq c\} \end{align}$$

两边对 $X=x$取期望，且根据结果变量的条件期望函数的定义，则有：

$$\begin{align} \mathbb{E}(Y|X=x) &= \mathbb{E}(Y_0|X=x) \cdot\mathbb{1}\{x<c\} + \mathbb{E}(Y_1|X=x) \cdot\mathbb{1}\{x\geq c\} \\ \Rightarrow m(x) &= m_0(x)\cdot\mathbb{1}\{x<c\} + m_1(x) \cdot\mathbb{1}\{x\geq c\} \end{align}$$

根据前面关于条件处置效应的定义及连续性假设，则有：

2.2 骤变RDD的估计：边界估计问题

断点回归设计（RDD）属于典型的边界估计（boundary estimation）问题，这里我们将优先采用局部线性回归（local linear regression, LLR）方法进行估计。

这里，我们将使用到非参数的核函数（kernel function）方法来除了回归的权重问题。

给定如下条件：

• 变量集

$$\begin{align} Z_{i}(x)=\left( \begin{array}{c} \mathbb{1} \\ X_{i}-x \end{array} \right) \end{align}$$

• 核函数（kernel function） $K(u)$

• 谱宽（bandwidth） $h$

2.2 骤变RDD的估计：局部线性回归估计（CEF）

此时，可以证明局部线性方法下的系数估计为（证明略）：

• 对于断点左侧 $x < c$，系数估计为^a：

$$\begin{align} \boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(x)=\left(\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{X_{i}-x}{h}\right) Z_{i}(x) Z_{i}(x)^{\prime}\cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{X_{i}-x}{h}\right) Z_{i}(x) Y_{i}\cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right) \end{align}$$

• 对于断点左侧 $x \geq c$，系数估计为^b：

$$\begin{align} \boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(x)=\left(\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{X_{i}-x}{h}\right) Z_{i}(x) Z_{i}(x)^{\prime} \cdot\mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{X_{i}-x}{h}\right) Z_{i}(x) Y_{i} \cdot\mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right) \end{align}$$

2.2 骤变RDD的估计：局部线性回归估计（断点效应）

根据结果变量条件期望函数 $m(x)$的定义，我们可以使用上述系数估计 $\boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(x),\boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(x)\}$，进一步得到结果变量条件期望函数的估计结果^a：

$$\begin{align} \widehat{m}(x)=\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(x)\right]_{1} \cdot \mathbb{1}\{x<c\}+\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(x)\right]_{1} \cdot \mathbb{1}\{x \geq c\} \end{align}$$

因此，根据断点处置效应定理，可以得到在断点 $x=c$处对总体平均处置效应 $\bar{\theta}$的样本估计结果 $\hat{\theta}$：

$$\begin{align} \widehat{\theta}=\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(c)\right]_{1}-\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(c)\right]_{1}=\hat{m}(c+)-\widehat{m}(c-) \end{align}$$

2.2 骤变RDD估计：简单线性回归方法

• 容易证明骤变RDD断点处置效应也可以通过如下简单线性回归方法 等价地得到 $\widehat{\theta}$的对应估计值：

$$\begin{align} Y=\beta_{0}+\beta_{1} X+\beta_{3}(X-c) D+\theta D+e \end{align}$$

需要注意的是：

• 上述等价模型，只是等价前面的基于非正规化矩形核函数（unnormalized Rectangular）谱宽下的局部线性LL断点处置估计效应值。

• 简单地，上述等价模型需要进行样本数据集的重新定义。具体地，运行变量的范围需要调整到 $X\in [c-h^{\ast}, c+h^{\ast}]$，其中 $h^{\ast}=\sqrt{3}h=\sqrt{3}\times 8$

2.3 骤变RDD谱宽选择：基本问题

当然，这里可以建议使用两种谱宽选择方法：

• 多项式(polynomial, PN)谱宽选择法(Fan, Gijbels, Hu, et al., 1996)：这是一种经验方法。

• 交叉验证（cross validation, CV）谱宽选择法

2.3 骤变RDD谱宽选择：多项式法

• 首先构造包含 $q$阶多项式和断点漂移项的模型：

$$\begin{align} m(x)=\beta_{0}+\beta_{1} x+\beta_{2} x^{2}+\cdots+\beta_{q} x^{q}+\beta_{q+1} D \end{align}$$

• 然后，通过估计得到的条件期望函数 $\widehat{m}(x)$计算二阶求导结果：

$$\begin{align} \widehat{m}^{\prime \prime}(x)=2 \widehat{\beta}_{2}+6 \widehat{\beta}_{3} x+12 \widehat{\beta}_{4} x^{2}+\cdots+q(q-1) \widehat{\beta}_{q} x^{q-2} \end{align}$$

• 再计算常量 $\overline{B}$，其中 $[\xi_1, \xi_2]$是运行变量 $X$内部的一个评价区间：

$$\begin{align} \widehat{B}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \widehat{m}^{\prime \prime}\left(X_{i}\right)\right)^{2} \mathbb{1}\left\{\xi_{1} \leq X_{i} \leq \xi_{2}\right\} \end{align}$$

• 最后，对于任意正规化核（normalized kernel），可以计算得到谱宽：

$$\begin{align} h_{\text{FG}}=0.58 \cdot \left(\frac{\widehat{\sigma}^{2}\left(\xi_{2}-\xi_{1}\right)}{\widehat{B}}\right)^{1 / 5} n^{-1 / 5} \end{align}$$

2.3 骤变RDD谱宽选择：多项式法

根据核函数的不同，多项式法(polynomial)计算公式略有不同：

• 对于非规化矩形核（un-normalized rectangular kernel） $K(u)=1/2, \text {for} |u|\leq 1$：

$$\begin{align} h_{\text{pn}}=1\cdot \left(\frac{\widehat{\sigma}^{2}\left(\xi_{2}-\xi_{1}\right)}{\widehat{B}}\right)^{1 / 5} n^{-1 / 5} \end{align}$$

• 对于非规化三角核（un-normalized rectangular kernel） $K(u)=1-|u|, \text {for} |u|\leq 1$：

$$\begin{align} h_{\text{pn}}=1.42\cdot \left(\frac{\widehat{\sigma}^{2}\left(\xi_{2}-\xi_{1}\right)}{\widehat{B}}\right)^{1 / 5} n^{-1 / 5} \end{align}$$

2.3 骤变RDD谱宽选择：交叉验证法

留一法（Leave-one-out,LOO）选择谱宽的基本步骤：

• 初步选定一个临近断点的区间 $[\xi_1, \xi_2]$（去中心化后centered X的范围）

• 任意选择初始谱宽

• 通过留一法计算模型预测残差及其残差平方和

• 以最小化残差平方和为目标，分析谱宽的变化趋势^a，并最终确定谱宽bandwidth。

2.3 骤变RDD谱宽选择：方法评析

• 谱宽估计的噪点（noise）会进入到RDD估计进程中去，因此谱宽选择显得非常重要。

• 无论是多项式法还是交叉验证法，确定最终谱宽时，都考虑到了全局性准确度。

• 另一种局部性的谱宽选择方法，主要考察断点附近(near-by)的准确度。

• 通过改变谱宽值，来对RDD估计进行稳健性检查是很必要的。

2.3 骤变RDD谱宽选择：方法评析

2.4 骤变RDD推断：理论估计偏误和方差

基于局部线性回归LLR估计结果，对断点处置效应参数 $\bar{\theta}$的推断陈述（inferential statement），都会受到其中非参数估计偏差的影响。

可以证明，局部线性回归（LLR）的估计量 $\hat{m}(x)$在标准正则条件（standard regularity conditions）下将服从渐近正态分布。

• 此时，RDD估计量 $\hat{\theta}$的渐近偏误（bias）和渐近方差分别为：

$$\begin{align} \operatorname{bias}[\widehat{\theta}] &=\frac{h^{2} \sigma_{K^{*}}^{2}}{2}\left(m^{\prime \prime}(c+)-m^{\prime \prime}(c-)\right)\\ \operatorname{var}[\widehat{\theta}] &=\frac{R_{K}^{*}}{n h}\left(\frac{\sigma^{2}(c+)}{f(c+)}+\frac{\sigma^{2}(c-)}{f(c-)}\right) \end{align}$$

2.4 骤变RDD推断：样本方差

上述理论方差，我们可以通过两个边界回归（断点两边）的系数估计量的渐近方差求和计算得到。我们首先给定如下条件：

• 变量集：

$$\begin{align} Z_{i}=\left( \begin{array}{c} \mathbb{1} \\ X_{i}-c \end{array} \right) \end{align}$$

• 核函数（kernel function） $K_i=k\left(\frac{X_i - c}{h}\right)$

• 谱宽（bandwidth） $h$

• 留一法^a得到的模型预测残差（leave-one-out prediction error） $\tilde{e}_i$

2.4 骤变RDD推断：样本方差

此时，我们可以得到局部线性回归LLR估计系数 $\hat{\theta}$的方差协方差矩阵分别为：

$$\begin{aligned} &\widehat{\boldsymbol{V}}_{0}=\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}^{2} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \tilde{e}_{i}^{2} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)^{-1} \\ &\widehat{\boldsymbol{V}}_{1}=\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}^{2} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \tilde{\boldsymbol{e}}_{i}^{2} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)^{-1} \end{aligned}$$

进一步地，估计系数 $\hat{\theta}$的渐进方差为上述两个矩阵第一个对角元素之和：

$$\text{Var}{(\hat{\theta})}=\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{0}\right]_{11}+\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{1}\right]_{11}$$

2.4 骤变RDD推断：置信区间和置信带

最后，我们可以分别对断点两侧计算逐点置信区间（Pointwise Confidence Interval），并相应构建置信带。

$$\begin{align} \widehat{m}(x) \pm z_{1-\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{\widehat{V}_{\widehat{m}(x)}}\\ \widehat{m}(x) \pm 1.96 \sqrt{\widehat{V}_{\widehat{m}(x)}} \end{align}$$

（死亡率案例）背景说明1/2

（死亡率案例）背景说明2/2

（死亡率案例）样本数据集

       X            Y             D       
 Min.   :15   Min.   :  0   Min.   :0.00  
 1st Qu.:24   1st Qu.:  0   1st Qu.:0.00  
 Median :34   Median :  0   Median :0.00  
 Mean   :37   Mean   :  2   Mean   :0.11  
 3rd Qu.:47   3rd Qu.:  3   3rd Qu.:0.00  
 Max.   :82   Max.   :136   Max.   :1.00

（死亡率案例）样本数据集：分组描述性统计

（死亡率案例）样本数据散点图

（死亡率案例）谱宽选择及CEF估计的规则策略

• 规则1：我们设定先验谱宽为 $h=8$，断点值设定为 $c =59.1984\%$。

• 规则2：分别设定断点两边箱组中心点序列值（center of bins）。我们将采用非对称箱组设置方法：

• 控制组（断点左边）的评估范围为 $[15, 59.2]$，序列间隔为0.2。评估总箱组数为 $g1=222$，待评估序列值为 $15.0, 15.2, 15.4, 15.6, 15.8, \cdots,58.6, 58.8, 59.0, 59.2$。
• 处置组（断点右边）的评估范围为 $[59.2, 82]$，序列间隔为0.2。评估总箱组数为 $g2=115$，待评估序列值为 $59.2, 59.4, 59.6, 59.8, 60.0, \cdots,81.4, 81.6, 81.8, 82.0$。

• 规则3：基于三角核函数（triangle kenerl）采用局部线性估计法，分别对断点两侧进行条件期望函数CEF $m(x)$进行估计，并得到估计值 $\widehat{m}(x)$（见下面附表和附图）。

（死亡率案例）CEF m(x)估计：计算附表

（死亡率案例）CEF m(x)估计图示：断点左侧（控制组）

（死亡率案例）CEF m(x)估计图示：断点右侧（处置组）

（死亡率案例）CEF m(x)估计图示：断点两侧（对比）

（死亡率案例）CEF方差估计：计算方差、标准差

• 直接使用谱宽^a $h=8$进行局部线性LL估计，并利用留一法法计算得到预测误差 $\tilde{\boldsymbol{e}}$，并最终分别得断点两侧的协方差矩阵（见下式），从而进一步计算得到CEF估计值的方差和标准差（见后面附表）。

$$\begin{aligned} &\widehat{\boldsymbol{V}}_{0}=\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}^{2} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \tilde{e}_{i}^{2} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i}<c\right\}\right)^{-1} \\ &\widehat{\boldsymbol{V}}_{1}=\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i}^{2} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \tilde{\boldsymbol{e}}_{i}^{2} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} K_{i} Z_{i} Z_{i}^{\prime} \cdot \mathbb{1}\left\{X_{i} \geq c\right\}\right)^{-1} \end{aligned}$$

（死亡率案例）CEF方差估计：计算方差估计值（附表）

（死亡率案例）CEF的置信区间和置信带

• 进一步计算局部线性估计下的逐点置信区间（Pointwise Confidence Interval）（见后面附表），并得到置信带（见后面附图）。

$$\begin{align} \widehat{m}(x) \pm z_{1-\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{\widehat{V}_{\widehat{m}(x)}}\\ \widehat{m}(x) \pm 1.96 \sqrt{\widehat{V}_{\widehat{m}(x)}} \end{align}$$

（死亡率案例）CEF的置信区间和置信带（附表）

（死亡率案例）CEF的置信区间和置信带：断点左侧（控制组）

（死亡率案例）CEF的置信区间和置信带：断点右侧（处置组）

（死亡率案例）CEF的置信区间和置信带：断点两侧侧（对比）

（死亡率案例）RDD断点处置效应：计算结果

• 根据断点处置效应定理，可以得到在断点 $x=c=59.1984$处对总体平均处置效应 $\bar{\theta}$的样本估计结果 $\hat{\theta}$：

$$\begin{align} \widehat{\theta} &=\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(c)\right]_{1}-\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(c)\right]_{1}\\ &=\hat{m}(c+)-\widehat{m}(c-)\\ &=3.3096 -1.8035 =-1.5060 \end{align}$$

• 断点处置效应估计值为 $\hat{\theta}=-1.5060$。

• 结论：援助项目的实施，减低了儿童死亡率，使得10万个孩子中约1.51个小孩免于遭受死亡。相比不实施项目援助，儿童死亡率由3.3096，下降到1.8035，降幅接近50%。

（死亡率案例）RDD断点处置效应：估计误差及显著性检验

• 进一步地，估计系数 $\hat{\theta}$的渐进方差为两个方差协方差矩阵第一个对角元素之和：

$$\begin{align} \text{Var}{(\hat{\theta})} &=\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{0}\right]_{11}+\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{1}\right]_{11}\\ &= 0.3673 + 0.1417 = 0.5090\\ se({(\hat{\theta})}) &= \sqrt{\text{Var}{(\hat{\theta})}} = \sqrt{0.5090} =0.7134 \end{align}$$

• 结论：援助项目的实施，减低了儿童死亡率，使得10万个孩子中约-1.5060个小孩免于遭受死亡。相比不实施项目援助，儿童死亡率由3.3096，下降到1.8035，降幅接近50%。

（死亡率案例）等价线性回归：调整运行变量范围

• 如前所述，骤变RDD断点处置效应也可以通过如下简单线性回归方法等价地得到 $\widehat{\theta}$的对应估计值：

$$\begin{align} Y=\beta_{0}+\beta_{1} X+\beta_{3}(X-c) D+\theta D+e \end{align}$$

• 简单地，上述等价模型需要进行样本数据集的重新定义。具体地，运行变量 $X$的范围需要调整到 $X\in [c-h^{\ast}, c+h^{\ast}]$，其中 $h^{\ast}=\sqrt{3}h=\sqrt{3}\times 8=13.86$

（死亡率案例）等价线性回归：调整后的数据集

       X            Y            D             XcD      
 Min.   :45   Min.   : 0   Min.   :0.00   Min.   : 0.0  
 1st Qu.:50   1st Qu.: 0   1st Qu.:0.00   1st Qu.: 0.0  
 Median :55   Median : 0   Median :0.00   Median : 0.0  
 Mean   :56   Mean   : 3   Mean   :0.34   Mean   : 1.8  
 3rd Qu.:62   3rd Qu.: 4   3rd Qu.:1.00   3rd Qu.: 2.4  
 Max.   :73   Max.   :65   Max.   :1.00   Max.   :13.8

（死亡率案例）等价线性回归：分组描述性统计

（死亡率案例）等价线性回归：OLS估计结果

$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&-1.0987&&+0.0758X_i&&+0.0331XcD_i&&-1.5454D_i\\ &(s)&&(2.9382)&&(0.0564)&&(0.1060)&&(0.7375)\\ &(t)&&(-0.37)&&(+1.34)&&(+0.31)&&(-2.10)\\ &(over)&&n=757&&\hat{\sigma}=5.1830 && &&\\ &(fit)&&R^2=0.0059&&\bar{R}^2=0.0019 && &&\\ &(Ftest)&&F^*=1.48&&p=0.2191 && && \end{alignedat} \end{equation}$$

• 用上述等价回归法估计得到的断点处置效应估计值为 $\widehat{\theta}=-1.5454$，样本t统计量为 $t^{\ast}=-2.10$，对应的概率值为 $p=0.0180$，表明是统计显著的。

2.5 协变量RDD：基本问题

• 回顾断点处置效应定理：

给定处置分配规则为 $D=1\{X \geq c\}$，而且假定结果变量满足断点处的连续性假设，也即结果变量的条件期望函数 $m(x)$在断点处 $x=c$连续，那么断点处置效应为：

$$\bar{\theta}=m(c+)-m(c-)$$

2.5 协变量RDD：符号表达

• 给定变量集为： $(Y,X,Z)$，其中 $Z$为含有 $k$个元素的协变量向量（covariates vector）

• 同前， $Y_0$和 $Y_1$分别为控制条件和处置条件下的结果变量（观测的或反事实的）

• 并进一步假定条件期望函数CEF是如下的线性形式，且断点两边的方程中协变量系数是相同的 $\beta^{\prime}$：

$$\begin{align} &\mathbb{E}\left[Y_{0} \mid X=x, Z=z\right]=m_{0}(x)+\beta^{\prime} z \\ &\mathbb{E}\left[Y_{1} \mid X=x, Z=z\right]=m_{1}(x)+\beta^{\prime} z \end{align}$$

• 那么，结果变量 $Y$的条件期望函数CEF将可以表达为：

$$\begin{align} m(x, z)=m_{0}(x) \cdot \mathbb{1}\{x< c\}+m_{1}(x) \cdot \mathbb{1}\{x \geq c\}+\beta^{\prime} z \end{align}$$

• 此时，可以证明断点处置效应结果为：

$$\overline{\theta} = m(c+,z) - m(c-,z)$$

2.5 协变量RDD：估计方法

RDD协变量估计方法有很多种，这里重点讨论(Robinson, 1988)提出了一种半参数效率估计方法，主要步骤如下：

• 步骤1：直接采用前面的RDD局部线性回归方法（RDD LLR），用 $Y_i$对 $X_i$进行回归，并得到第1阶段的结果变量的拟合值 $\widehat{m}_i = \widehat{m}_i(X_i)$

• 步骤2：依次做 $Z_{i1}$对 $X_i$、 $Z_{i2}$对 $X_i$、 $\ldots$的局部线性回归Z（LL），并分别得到协变量的拟合值 $\widehat{g}_{1i},\widehat{g}_{2i},\ldots,\widehat{g}_{ki}$

• 步骤3：做 $Y_i -m_{i}$对 $Z_{i1}-\widehat{g}_{1i},Z_{i2}-\widehat{g}_{2i},\ldots,Z_{ik}-\widehat{g}_{ki}$的回归，并得到估计系数 $\hat{\beta}$及其标准误

• 步骤4：构造残差 $\hat{e}_i=Y_i - Z^{\prime}_i\hat{\beta}$

• 步骤5：再次采用RDD局部线性回归方法（LLR），进行 $\hat{e}_i$对 $X_i$的回归，并计算得到非参数估计量 $\widehat{m}(x)$，断点效应估计值 $\hat{\theta}$及其标准误。

（死亡率案例）背景说明

• 上述两个协变量，本质上可以视作为收入变量（income）的代理变量（proxy）。

• 下面我们将使用(Robinson, 1988)的半参数效率估计方法来评估项目援助的断点处置效应（RDD ATE）。

（死亡率案例）样本数据集

       X            Y             Za           Zb            D       
 Min.   :15   Min.   :  0   Min.   : 0   Min.   :  0   Min.   :0.00  
 1st Qu.:24   1st Qu.:  0   1st Qu.: 0   1st Qu.:  0   1st Qu.:0.00  
 Median :34   Median :  0   Median : 2   Median : 28   Median :0.00  
 Mean   :37   Mean   :  2   Mean   :11   Mean   : 29   Mean   :0.11  
 3rd Qu.:47   3rd Qu.:  3   3rd Qu.:15   3rd Qu.: 48   3rd Qu.:0.00  
 Max.   :82   Max.   :136   Max.   :83   Max.   :100   Max.   :1.00

（死亡率案例）样本数据集：分组描述性统计

（死亡率案例）协变量RDD：规则策略

在进行协变量RDD分析之前，我们设定如下的规则策略：

• 规则1：我们设定先验谱宽为 $h=8$，断点值设定为 $c =59.1984\%$。

• 规则2：分别设定断点两边箱组中心点序列值（center of bins）。我们将采用非对称箱组设置方法：

• 控制组（断点左边）的评估范围为 $[15, 59.2]$，序列间隔为0.2。评估总箱组数为 $g1=222$，待评估序列值为 $15.0, 15.2, 15.4, 15.6, 15.8, \cdots,58.6, 58.8, 59.0, 59.2$。
• 处置组（断点右边）的评估范围为 $[59.2, 82]$，序列间隔为0.2。评估总箱组数为 $g2=115$，待评估序列值为 $59.2, 59.4, 59.6, 59.8, 60.0, \cdots,81.4, 81.6, 81.8, 82.0$。

• 规则3：如果使用局部线性估计法（LL），则采用三角核函数（triangle kenerl）。

• 规则4：我们将使用(Robinson, 1988)的半参数效率估计方法来评估断点处置效应（RDD ATE）。

（死亡率案例）协变量RDD：第1阶段LLR估计残差

• 步骤1：直接采用前面的局部线性回归方法（LLR），用 $Y_i$对 $X_i$进行LL回归，得到第1阶段的结果变量的拟合值 $\widehat{m}_i = \widehat{m}_i(X_i)$，并进一步构造留一法残差^a $Y_i - \widehat{m}_i$

（死亡率案例）协变量RDD：第2阶段LLR估计残差

• 步骤2：同上，依次做 $Z_a$对 $X_i$、 $Z_b$对 $X_i$的局部线性回归（LLR），并分别得到协变量的拟合值 $\widehat{g}_{1i},\widehat{g}_{2i}$，及其对应残差^a $(Z_a-\widehat{g}_{1i}),(Z_b-\widehat{g}_{2i})$

（死亡率案例）协变量RDD：第3阶段OLS估计(模型)

• 步骤3：利用前面两个阶段的残差，做 $Y_i -m_{i}$对 $Z_{i1}-\widehat{g}_{1i},Z_{i2}-\widehat{g}_{2i},\ldots,Z_{ik}-\widehat{g}_{ki}$的无截距的普通最小二乘回归（OLS），并得到估计系数 $\hat{\beta}$及其标准误

$$\begin{align} (Y_i -m_{i}) &= \hat{\beta}_1(Z_{ia}-\widehat{g}_{1i})+\hat{\beta}_2(Z_{ib}-\widehat{g}_{2i})\\ e&=\hat{\beta}_{1}R_a + \hat{\beta}_{2}R_a \end{align}$$

（死亡率案例）协变量RDD：第3阶段OLS估计（结果）

• 上述模型，未矫正标准误下OLS估计的结果如下^a ：

$$\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{e}=&&+0.0265Ra_i&&-0.0094Rb_i\\ &(s)&&(0.0083)&&(0.0045)\\ &(t)&&(+3.19)&&(-2.08)\\ &(p)&&(0.0014)&&(0.0377)\\ &(over)&&n=2783&&\hat{\sigma}=5.7091 \end{alignedat} \end{equation}$$

• 上述模型，进行稳健标准误矫正OLS估计的结果如下^b ：

（死亡率案例）协变量RDD：构造残差

• 步骤4：利用前面的OLS估计系数，我们就可以构造得到残差 $\hat{e}_i=Y_i - Z^{\prime}_i\hat{\beta}$

（死亡率案例）协变量RDD：LLR估计CEF（附表）

• 步骤5：再次采用RDD局部线性回归方法（LLR），进行 $\hat{e}_i$对 $X_i$的回归，并计算得到非参数估计量 $\widehat{m}(x)$，断点效应估计值 $\hat{\theta}$及其标准误。

（死亡率案例）协变量RDD：断点左侧CEF（控制组）

（死亡率案例）协变量RDD：断点右侧CEF（处置组）

（死亡率案例）协变量RDD：断点两侧（对比）

（死亡率案例）协变量RDD：标准差和置信区间（附表）

• 同前，进一步计算得到CEF估计值的方差和标准差以及95%置信区间

（死亡率案例）协变量RDD：断点左侧置信带（控制组）

（死亡率案例）协变量RDD：断点右侧置信带（处置组）

（死亡率案例）协变量RDD：断点两侧

（死亡率案例）协变量RDD：断点处置效应

• 根据断点处置效应定理，可以得到在断点 $x=c=59.1984$处对总体平均处置效应 $\bar{\theta}$的样本估计结果 $\hat{\theta}$：

$$\begin{align} \widehat{\theta} &=\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{1}}(c)\right]_{1}-\left[\boldsymbol{\widehat{\beta}_{0}}(c)\right]_{1}\\ &=\hat{m}(c+)-\widehat{m}(c-)\\ &= 2.8209 - 1.2592 = -1.5617 \end{align}$$

• 断点处置效应估计值为 $\hat{\theta}=-1.5617$。

• 结论：援助项目的实施，减低了儿童死亡率，使得10万个孩子中约-1.5617个小孩免于遭受死亡。相比不实施项目援助，儿童死亡率由2.8209，下降到1.2592，降幅接近50%。

（死亡率案例）协变量RDD：估计误差及显著性检验

• 进一步地，估计系数 $\hat{\theta}$的渐进方差为两个方差协方差矩阵第一个对角元素之和：

$$\begin{align} \text{Var}{(\hat{\theta})} &=\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{0}\right]_{11}+\left[\widehat{\boldsymbol{V}}_{1}\right]_{11}\\ &= 0.3673 + 0.1417 = 0.5090\\ se({(\hat{\theta})}) &= \sqrt{\text{Var}{(\hat{\theta})}} = \sqrt{0.5090} =0.7122 \end{align}$$

• 因此RDD断点处置效应估计值 $\hat{\theta}$的标准误为 $se({\hat{\theta}}) =0.7122$；最后我们可以计算得到RDD断点处置效应对应的t统计量： $t^{\ast}=\frac{\hat{\theta}}{se(\hat{\theta})}=-2.19$，其概率值为 $p=0.0283$.

• 综上，RDD结果表明援助项目降低了儿童死亡率，使得10万个孩子中约1.51个小孩免于遭受死亡。并且t统计量检验表明，援助项目在降低了儿童死亡率上具有统计显著性（置信度超过95%）。

（死亡率案例）总结：系数和标准误比较

• 结论1：与基准RDD相比，两个协变量的引入没有明显改变断点处置效应估计值大小。

• 结论2：但是是否引入协变量，对CEF估计值 $\widehat{m}(x)$的影响较大。可以看到基准RDD更陡峭，而协变量RDD更平缓。（见后面附图对比）

• 结论3：考虑到两个协变量可以视作收入的代理变量，可以看到黑人人口比重负向影响儿童死亡率，而城镇人口比重正向影响儿童死亡率。

（死亡率案例）总结：CEF估计值图形比较1/2

基准RDD：局部线性回归及断点效应估计

（死亡率案例）总结：CEF估计值图形比较2/2

协变量RDD：局部线性回归及断点效应估计

3.1 模糊RDD分析

模糊RDD（fuzzy regression discontinuity design,FRDD）：是指处置条件的条件分配概率在断点处是不连续的（跳跃的），但又不是从0直接跳跃到1的一种RDD分析情形。

骤变RDD中，在断点两边，处置条件的条件分配概率在断点处是跳跃的，而且是直接从0跳跃到1。

• 我们定义处置条件的条件分配概率为：

$$p(x) = \mathbb{P}[D=1|X=x]$$

• 那么在断点 $x=c$左右两边的极限条件分配概率则分别定义为： $p(c-),p(c+)$。

• 因此，对于模糊RDD而言，则意味着： $p(c-)\neq p(c+)$

（示例）模糊RDD分析：处置水平的分配概率

（示例）模糊RDD分析：反事实与条件期望函数

3.1 模糊RDD分析：断点ATE定理（表达）

3.1 模糊RDD分析：断点ATE定理（证明）

此时，我们考虑如下的模型：

$$\begin{align} \begin{aligned} Y &=Y_{0} \mathbb{1}\{D=0\}+Y_{1} \mathbb{1}\{D=1\} \\ &=Y_{0}+\theta \mathbb{1}\{D=1\} \end{aligned} \end{align}$$

• 对两边在 $x=c$附近同时取期望：

$$\begin{align} \begin{aligned} m(x) =m_{0}(x)+\mathbb{E}[\theta \mathbb{1}\{D=1\} \mid X=x] =m_{0}(x)+\theta(x) p(x) \end{aligned} \end{align}$$

• 在 $x=c$处取极限，则有：

$$\begin{align} m(c+)=m_{0}(c)+\bar{\theta} p(c+); \quad \quad m(c-)=m_{0}(c)+\bar{\theta} p(c-) \\ \end{align}$$

• 最后可以证明：

$$\begin{align} m(c+)- m(c-) = \bar{\theta} p(c+) -\bar{\theta} p(c-) \Rightarrow \quad \quad \bar{\theta} = \frac{m(c+)- m(c-)}{ p(c+) - p(c-) } \end{align}$$

3.1 模糊RDD分析：断点ATE的估计（精简表达法）

• 对于分母部分，我们可以使用前面介绍的局部线性回归（LLR）对总体参数 $m(c+)- m(c-)$进行估计，得到断点 $x=c$附近的两边的估计值：

$$\begin{align} \widehat{m}(c+)- \widehat{m}(c-) & \equiv [\widehat{\beta}_1(c)]_1 - [\widehat{\beta}_0(c)]_1 \end{align}$$

• 同理，分子部分我们也同样使用局部线性回归（LLR）对总体参数 $p(c+)- p(c-)$进行估计，得到断点 $x=c$附近的估计值：

$$\begin{align} \widehat{p}(c+)- \widehat{p}(c-) & \equiv [\widehat{\alpha}_1(c)]_1 - [\widehat{\alpha}_0(c)]_1 \end{align}$$

• 最终，我们可以得到断点ATE的估计值为：

$$\begin{align} \widehat{\theta} &= \frac{\widehat{m}(c+)- \widehat{m}(c-)}{ \widehat{p}(c+) - \widehat{p}(c-) } \end{align}$$

3.1 模糊RDD分析：断点ATE的估计（精简表达法）

对于模糊RDD断点ATE的估计：

$$\begin{align} \widehat{\theta} &= \frac{\widehat{m}(c+)- \widehat{m}(c-)}{ \widehat{p}(c+) - \widehat{p}(c-) } \end{align}$$

• 上式实际上是两类断点估计的比率值。而且当 $\widehat{p}(c+) - \widehat{p}(c-) =1$时，以上估计式即为骤变RDD的估计情形！

• 上述估计值的计算总共会需要进行4次局部线性回归，是不是需要都使用相同的谱宽（bandwidth），或者断点两侧是否要采用不同数量的箱组（bins），可以进行多次尝试！

3.1 模糊RDD分析：断点ATE的估计（IV表达法）

事实上，上述模糊RDD断点ATE的估计可以使用工具变量法（IV）等价得到。

• 简单地，可以把 $D$视作为 $X$的工具变量，然后把 $Y$对它们二者进行局部加权工具变量估计（Locally weighted IV estimation），从而得到断点ATE估计值 $\widehat{\theta}$。

• 断点处置效应能否被识别，有赖于在断点附近处概率 $p(x)$的跳跃性程度。如果跳跃不大，那么就会带来弱工具变量问题（Weak Instruments Problem）。

• ATE估计的标准误，其计算过程类似于IV回归法。我们先把估计量 ${\widehat{m}(c+)- \widehat{m}(c-)}$的标准误定义为 $s(\widehat{\theta})$，那么就可以使用下式计算得到ATE估计 $\widehat{\theta}$的标准误：

$$\begin{align} s(ate)=\frac{s(\widehat{\theta})}{|\hat{p}(c+)-\widehat{p}(c-)|} \end{align}$$

3.2 拐点回归RKD分析：引子

3.2 拐点回归RKD分析：问题描述

拐点回归设计（Regression Kink Design, RKD）：是探讨结果变量 $Y$对运行变量 $X$的斜率（slope）是否存在显著改变（change）的一种处置效应回归分析设计框架。

• 处置条件只是改变了斜率，但是并没有引起结果变量的跳跃，也即结果变量在拐点处（kink point）还是连续的！

• 在有些情形下，研究者还可以关注处置水平D对运行变量X的变化率的拐点效应。

（示例）拐点回归RKD分析：基于模拟数据

结果变量对运行变量的变化率（斜率）具有拐点效应

3.2 拐点回归RKD分析：应用案例1

• 讨结果变量 $Y$对运行变量 $X$的变化率（斜率）具有拐点效应：

3.2 拐点回归RKD分析：应用案例2

• 结果变量 $Y$对运行变量 $X$的变化率（斜率）具有拐点效应：

3.2 拐点回归RKD分析：应用案例2

• 结果变量 $Y$对运行变量 $X$的变化率（斜率）具有拐点效应：

3.2 拐点回归RKD分析：应用案例3

• 处置变量D对运行变量 $X$的变化率（斜率）具有拐点效应：

3.2 拐点回归RKD分析：应用案例3

• 处置变量D对运行变量 $X$的变化率（斜率）具有拐点效应：

（育儿支持案例）处置变量对运行变量的拐点效应

处置变量对运行变量的变化率（斜率）具有拐点效应

（育儿支持案例）结果变量对运行变量的拐点效应1/2

• 对于不打算再要孩子的家庭

结果变量对运行变量的变化率（斜率）没有拐点效应

（育儿支持案例）结果变量对运行变量的拐点效应2/2

• 对于打算再要孩子的家庭，不仅仅只是拐点效应，而是断点效应

结果变量对运行变量的变化率（斜率）具有拐点效应

3.2 拐点回归RKD分析：拐点效应ATE估计

总体而言，关于拐点效应ATE的估计方法，与之前的RDD估计过程基本类似：

• 确定核函数

• 选择谱宽

• 局部线性回归LLR或局部多项式回归LPR

• 安慰剂效应检验

3.3 多断点RDD：引子

（示例）多断点RDD应用案例

（示例）多断点RDD应用案例

3.3 多断点RDD：问题描述

• 很多情况下，断点（或拐点）本身就是政策指定者最为关注的议题

• 一些情形下，多个断点的政策设计具有很强的现实意义或价值。

多断点分析（Cutoffs cut off Analysis）：在运行变量X上，存在多个断点，断点值的划定，往往基于不同群体、不同地区，或不同时间段上的运行变量取值。

3.3 多断点RDD：断点ATE的估计

3.4 安慰剂检验：原理

安慰剂检验（Placebo Tests）：RDD分析的前提假设是，处置变量的作用是“干净的”、没有后门的（no back doors）。如果不使用结果变量Y，而是使用协变量作为“结果变量”进行正常的RDD估计，如果也表现出与之前同样显著的断点处置效应ATE，那么我们就要质疑我们的RDD设计框架了。

• 选择合理的协变量，将其视作为“结果变量”

• 进行常规的RDD分析流程

• 比较结果并得出检验结论。

理论上，上述操作不应该得到——“显著存在断点处置效应”——的结论！

（政府转移支付案例）背景

（政府转移支付案例）年龄协变量下的安慰剂检验

• 以协变量年龄作为结果变量进行安慰剂检验

（政府转移支付案例）教育协变量下的安慰剂检验

• 以协变量教育年数作为结果变量进行安慰剂检验